Номер 365, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 365, страница 247.

365. Решите уравнение:

1) $ \sin (60^\circ + x) \cos (x - 30^\circ) = 1; $

2) $ \cos 6x \cos x = \cos 5x; $

3) $ \sin 6x \cos 4x = \sin 10x \cos 8x; $

4) $ 4 \sin^2 2x = 3 - 2 \sin 6x \sin 2x . $

1) $ \sin(60^\circ + x)\cos(x - 30^\circ) = 1 $

Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $. Применим ее к первому множителю:

$ \sin(60^\circ + x) = \cos(90^\circ - (60^\circ + x)) = \cos(90^\circ - 60^\circ - x) = \cos(30^\circ - x) $.

Так как косинус является четной функцией, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, мы можем записать $ \cos(30^\circ - x) = \cos(x - 30^\circ) $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \cos(x - 30^\circ)\cos(x - 30^\circ) = 1 $

$ \cos^2(x - 30^\circ) = 1 $

Это уравнение равносильно тому, что $ \cos(x - 30^\circ) = 1 $ или $ \cos(x - 30^\circ) = -1 $.

Общее решение для $ \cos \alpha = \pm 1 $ имеет вид $ \alpha = 180^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Следовательно:

$ x - 30^\circ = 180^\circ n $

$ x = 30^\circ + 180^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 30^\circ + 180^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 6x \cos x = \cos 5x $

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B)) $.

$ \frac{1}{2}(\cos(6x+x) + \cos(6x-x)) = \cos 5x $

$ \frac{1}{2}(\cos 7x + \cos 5x) = \cos 5x $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \cos 7x + \cos 5x = 2\cos 5x $

$ \cos 7x - \cos 5x = 0 $

Применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $ \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $.

$ -2\sin\frac{7x+5x}{2}\sin\frac{7x-5x}{2} = 0 $

$ -2\sin 6x \sin x = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 6x = 0 \implies 6x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что множество решений $ x = \pi k $ является подмножеством множества $ x = \frac{\pi n}{6} $ (этот случай получается, когда $ n $ кратно 6, т.е. $ n=6k $). Таким образом, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin 6x \cos 4x = \sin 10x \cos 8x $

Применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $ к обеим частям уравнения.

Для левой части ($ A=6x, B=4x $):

$ \sin 6x \cos 4x = \frac{1}{2}(\sin(6x+4x) + \sin(6x-4x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 2x) $.

Для правой части ($ A=10x, B=8x $):

$ \sin 10x \cos 8x = \frac{1}{2}(\sin(10x+8x) + \sin(10x-8x)) = \frac{1}{2}(\sin 18x + \sin 2x) $.

Приравниваем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 18x + \sin 2x) $

$ \sin 10x + \sin 2x = \sin 18x + \sin 2x $

$ \sin 10x = \sin 18x $

$ \sin 18x - \sin 10x = 0 $

Используем формулу преобразования разности синусов в произведение: $ \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $.

$ 2\cos\frac{18x+10x}{2}\sin\frac{18x-10x}{2} = 0 $

$ 2\cos 14x \sin 4x = 0 $

Отсюда получаем два семейства решений:

1. $ \cos 14x = 0 \implies 14x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 4x = 0 \implies 4x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 4\sin^2 2x = 3 - 2\sin 6x \sin 2x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ 4\sin^2 2x + 2\sin 6x \sin 2x - 3 = 0 $

Воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} $ и формулой преобразования произведения синусов в сумму $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

$ 4\sin^2 2x = 4 \cdot \frac{1-\cos(2 \cdot 2x)}{2} = 2(1-\cos 4x) = 2 - 2\cos 4x $.

$ 2\sin 6x \sin 2x = 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(6x-2x) - \cos(6x+2x)) = \cos 4x - \cos 8x $.

Подставляем эти выражения в преобразованное уравнение:

$ (2 - 2\cos 4x) + (\cos 4x - \cos 8x) - 3 = 0 $

$ 2 - 2\cos 4x + \cos 4x - \cos 8x - 3 = 0 $

$ -\cos 4x - \cos 8x - 1 = 0 $

$ \cos 8x + \cos 4x + 1 = 0 $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $, чтобы выразить $ \cos 8x $ через $ \cos 4x $:

$ \cos 8x = \cos(2 \cdot 4x) = 2\cos^2 4x - 1 $.

Подставляем в уравнение:

$ (2\cos^2 4x - 1) + \cos 4x + 1 = 0 $

$ 2\cos^2 4x + \cos 4x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos 4x $ за скобки:

$ \cos 4x (2\cos 4x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\cos 4x + 1 = 0 \implies \cos 4x = -\frac{1}{2} \implies 4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k \implies 4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.