Номер 358, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 358, страница 246.
№358 (с. 246)
Учебник. №358 (с. 246)
скриншот условия

358. Сколько корней уравнения $tg 3x = \sqrt{3}$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$?
Решение 2. №358 (с. 246)
Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\operatorname{tg}(3x) = \sqrt{3}$.
Аргумент тангенса $3x$ можно выразить через арктангенс:
$3x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Так как $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n$
Теперь найдем общее решение для $x$, разделив обе части уравнения на 3:
$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Далее необходимо определить, сколько из этих корней попадает в заданный промежуток $[0; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство:
$0 \le \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \le \pi$
Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не изменятся):
$0 \le \frac{1}{9} + \frac{n}{3} \le 1$
Вычтем $\frac{1}{9}$ из всех частей неравенства:
$-\frac{1}{9} \le \frac{n}{3} \le 1 - \frac{1}{9}$
$-\frac{1}{9} \le \frac{n}{3} \le \frac{8}{9}$
Умножим все части неравенства на 3:
$-\frac{3}{9} \le n \le \frac{24}{9}$
$-\frac{1}{3} \le n \le \frac{8}{3}$
Переводя в десятичные дроби, получаем приблизительный интервал для $n$:
$-0.33... \le n \le 2.66...$
Поскольку $n$ должно быть целым числом, возможными значениями для $n$ являются $0, 1, 2$.
Таким образом, в указанном промежутке существует 3 корня. Найдем их для проверки:
1. При $n=0$: $x_1 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{9}$
2. При $n=1$: $x_2 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 1}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}$
3. При $n=2$: $x_3 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 2}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$
Все три корня $(\frac{\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{7\pi}{9})$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: 3
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 358 расположенного на странице 246 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №358 (с. 246), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.