Номер 358, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические уравнения и неравенства - номер 358, страница 246.

Учебник.

358. Сколько корней уравнения $tg 3x = \sqrt{3}$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$?

Решение 2.

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения $\operatorname{tg}(3x) = \sqrt{3}$.

Аргумент тангенса $3x$ можно выразить через арктангенс:

$3x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Так как $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь найдем общее решение для $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо определить, сколько из этих корней попадает в заданный промежуток $[0; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не изменятся):

$0 \le \frac{1}{9} + \frac{n}{3} \le 1$

Вычтем $\frac{1}{9}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{1}{9} \le \frac{n}{3} \le 1 - \frac{1}{9}$

$-\frac{1}{9} \le \frac{n}{3} \le \frac{8}{9}$

Умножим все части неравенства на 3:

$-\frac{3}{9} \le n \le \frac{24}{9}$

$-\frac{1}{3} \le n \le \frac{8}{3}$

Переводя в десятичные дроби, получаем приблизительный интервал для $n$:

$-0.33... \le n \le 2.66...$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, возможными значениями для $n$ являются $0, 1, 2$.

Таким образом, в указанном промежутке существует 3 корня. Найдем их для проверки:

1. При $n=0$: $x_1 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{9}$

2. При $n=1$: $x_2 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 1}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}$

3. При $n=2$: $x_3 = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 2}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}$

Все три корня $(\frac{\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{7\pi}{9})$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$.

Ответ: 3