Номер 356, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 356, страница 246.

356. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{4};$

2) $y = 5 - 3\operatorname{arctg} \frac{x}{2}.$

1) Чтобы найти область значений функции $y=2\arcsin x-\frac{\pi}{4}$, нужно исходить из области значений функции арксинус.

Область значений функции $f(t)=\arcsin t$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Это означает, что для любого $x$ из области определения (в данном случае $x \in [-1; 1]$) выполняется двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы получить выражение для $y$, преобразуем это неравенство. Сначала умножим все его части на 2:

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2\arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi$

Теперь вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{4}$:

$-\pi - \frac{\pi}{4} \le 2\arcsin x - \frac{\pi}{4} \le \pi - \frac{\pi}{4}$

Упростим левую и правую части:

$-\frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$

$-\frac{5\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

2) Для нахождения области значений функции $y=5-3\operatorname{arctg}\frac{x}{2}$ будем исходить из области значений функции арктангенс.

Область значений функции $f(t)=\operatorname{arctg} t$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Аргумент $\frac{x}{2}$ может принимать любые действительные значения, поэтому для $\operatorname{arctg}\frac{x}{2}$ справедливо строгое неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$

Преобразуем это неравенство. Сначала умножим все части на -3. При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-3 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} > -3 \cdot \frac{\pi}{2}$

$\frac{3\pi}{2} > -3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} > -\frac{3\pi}{2}$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-\frac{3\pi}{2} < -3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}$

Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$5 - \frac{3\pi}{2} < 5 - 3\operatorname{arctg}\frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2}$

$5 - \frac{3\pi}{2} < y < 5 + \frac{3\pi}{2}$

Следовательно, область значений данной функции — это интервал $(5 - \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2})$.

Ответ: $(5 - \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2})$.