Номер 360, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 360, страница 247.

360. Решите уравнение:

1) $6\cos^2 x + 5\sin x - 7 = 0$;

2) $\sin^2 3x + 3\cos 3x = 3$;

3) $\cos 2x - 3\sin x = 2$;

4) $2\mathrm{tg}\frac{x}{3} + 2\mathrm{ctg}\frac{x}{3} = 5$.

1) Дано уравнение $6\cos^2 x + 5\sin x - 7 = 0$.

Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$6(1 - \sin^2 x) + 5\sin x - 7 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6 - 6\sin^2 x + 5\sin x - 7 = 0$

$-6\sin^2 x + 5\sin x - 1 = 0$

Умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от -1 до 1, то $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$6t^2 - 5t + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Оба корня $t_1 = 1/2$ и $t_2 = 1/3$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$, следовательно, оба являются решениями.

Выполним обратную замену:

а) $\sin x = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x = \frac{1}{3}$

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $(-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin^2 3x + 3\cos 3x = 3$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, где $\alpha = 3x$.

$(1 - \cos^2 3x) + 3\cos 3x = 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-\cos^2 3x + 3\cos 3x + 1 - 3 = 0$

$-\cos^2 3x + 3\cos 3x - 2 = 0$

Умножим на -1:

$\cos^2 3x - 3\cos 3x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos 3x$, где $-1 \le t \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.

$t_1 = 1$ - удовлетворяет условию.

$t_2 = 2$ - не удовлетворяет условию, так как $\cos 3x$ не может быть больше 1.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$\cos 3x = 1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$3x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\cos 2x - 3\sin x = 2$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.

$(1 - 2\sin^2 x) - 3\sin x = 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$-2\sin^2 x - 3\sin x + 1 - 2 = 0$

$-2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0$

Умножим на -1:

$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$

Введем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

$t_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Оба корня удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Выполним обратную замену:

а) $\sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $2\text{tg}\frac{x}{3} + 2\text{ctg}\frac{x}{3} = 5$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin\frac{x}{3} \ne 0$ и $\cos\frac{x}{3} \ne 0$. Это эквивалентно $\sin(\frac{2x}{3}) \ne 0$, то есть $\frac{2x}{3} \ne \pi k$, откуда $x \ne \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha}$.

$2\text{tg}\frac{x}{3} + \frac{2}{\text{tg}\frac{x}{3}} = 5$

Введем замену. Пусть $t = \text{tg}\frac{x}{3}$. С учетом ОДЗ, $t \ne 0$.

$2t + \frac{2}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$:

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$t_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня ненулевые, поэтому подходят. Выполним обратную замену:

а) $\text{tg}\frac{x}{3} = 2$

$\frac{x}{3} = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 3\text{arctg}(2) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\text{tg}\frac{x}{3} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{3} = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 3\text{arctg}(\frac{1}{2}) + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $3\text{arctg}(2) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $3\text{arctg}(\frac{1}{2}) + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.