Номер 366, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 366, страница 247.

366. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x - \cos 3x} = 0;$

3) $\frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2 \cos x;$

4) $\frac{1 + \cos x - \sin x}{\cos x} = 0.$

1) $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе: $$ \begin{cases} \sin 2x = 0 \\ 1 + \cos 2x \neq 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение:
$\sin 2x = 0$
$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа)
$x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Теперь проверим второе условие (ОДЗ):
$1 + \cos 2x \neq 0 \implies \cos 2x \neq -1$
$2x \neq \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Сравним полученные решения $x = \frac{\pi k}{2}$ с ограничением $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Серия решений $x = \frac{\pi k}{2}$ включает в себя значения при четных и нечетных $k$.
- Если $k$ — четное, то есть $k = 2m$, то $x = \frac{\pi (2m)}{2} = \pi m$. Для этих значений $2x = 2\pi m$, и $\cos(2x) = \cos(2\pi m) = 1$. Условие $1+1 \neq 0$ выполняется.
- Если $k$ — нечетное, то есть $k = 2m+1$, то $x = \frac{\pi (2m+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$. Эти значения совпадают с теми, что мы должны исключить.
Таким образом, из всех решений $x = \frac{\pi k}{2}$ мы должны оставить только те, где $k$ — четное, то есть $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Альтернативный способ:
Используем формулы двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
$\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = 0$
$\frac{\sin x}{\cos x} = 0$, при условии $\cos x \neq 0$.
$\tan x = 0$
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$, $\cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0$, так что условие выполняется.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x - \cos 3x} = 0$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x + \sin 3x = 0 \\ \cos x - \cos 3x \neq 0 \end{cases} $$ Применим формулы преобразования суммы и разности в произведение:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
Система примет вид: $$ \begin{cases} 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} = 0 \\ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} \neq 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2\sin(2x)\cos(-x) = 0 \\ -2\sin(2x)\sin(-x) \neq 0 \end{cases} $$ Учитывая, что $\cos(-x) = \cos x$ и $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $$ \begin{cases} 2\sin(2x)\cos x = 0 \\ 2\sin(2x)\sin x \neq 0 \end{cases} $$ Из второго неравенства системы следует, что $\sin(2x) \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.
Поскольку $\sin(2x) \neq 0$, то первое уравнение $2\sin(2x)\cos x = 0$ может выполняться только если $\cos x = 0$.
Найдем решения уравнения $\cos x = 0$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти решения условию $\sin(2x) \neq 0$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ в выражение $\sin(2x)$:
$\sin(2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = \sin(\pi + 2\pi n) = 0$.
Это противоречит условию $\sin(2x) \neq 0$. Следовательно, ни одно из значений $x$, при которых числитель обращается в ноль, не входит в область допустимых значений.

Ответ: корней нет.

3) $\frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2\cos x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $1 - \sin x \neq 0$, откуда $\sin x \neq 1$.
$\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения нужно будет исключить из ответа.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $1 - \sin x$:
$\sin 2x = 2\cos x (1 - \sin x)$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x = 2\cos x - 2\sin x \cos x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$4\sin x \cos x - 2\cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:
$2\cos x (2\sin x - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим найденные решения с учетом ОДЗ ($\sin x \neq 1$).
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
- при четных $n=2k$, имеем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = 1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Эти корни посторонние.
- при нечетных $n=2k+1$, имеем $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = -1$, что удовлетворяет ОДЗ. Эти корни подходят.
Для серии $x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$:
$\sin x = \frac{1}{2}$, что не равно 1. Все решения этой серии удовлетворяют ОДЗ.
Объединяем подходящие решения.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{1 + \cos x - \sin x}{\cos x} = 0$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 1 + \cos x - \sin x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение:
$1 + \cos x - \sin x = 0 \implies \sin x - \cos x = 1$
Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно записать в виде:
$\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получаем:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Это уравнение имеет две серии решений:
1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим найденные решения с учетом условия $\cos x \neq 0$.
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, имеем $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$. Эти решения не удовлетворяют ОДЗ и являются посторонними.
Для серии $x = \pi + 2\pi n$, имеем $\cos(\pi + 2\pi n) = -1 \neq 0$. Эти решения подходят.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.