Номер 373, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 373, страница 248.

373. Какова область значений функции $f(x) = 9^x + 2$?

Для того чтобы найти область значений функции $f(x) = 9^x + 2$, необходимо определить множество всех возможных значений, которые может принимать $f(x)$.

1. В основе данной функции лежит показательная функция $y = 9^x$.

2. Известно, что показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$ (в нашем случае основание $a = 9$, что больше 1) имеет область значений, состоящую из всех положительных действительных чисел. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выражение $9^x$ всегда будет строго больше нуля.

Математически это записывается как неравенство:

$9^x > 0$

3. Исходная функция $f(x) = 9^x + 2$ получена путем прибавления константы 2 к функции $y = 9^x$. Это преобразование представляет собой сдвиг графика функции $y = 9^x$ на 2 единицы вверх по оси ординат.

4. Чтобы найти новую область значений, мы можем применить это преобразование к неравенству $9^x > 0$. Прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$9^x + 2 > 0 + 2$

Это приводит нас к следующему:

$f(x) > 2$

Таким образом, значение функции $f(x)$ всегда строго больше 2. Область значений функции, обозначаемая как $E(f)$, представляет собой интервал от 2 до плюс бесконечности, не включая 2.

Ответ: $E(f) = (2; +\infty)$.