Номер 368, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 368, страница 247.

368. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $sin^3 x \cos x = 0,25 - \cos^3 x \sin x$.

Для решения данного уравнения перенесем все слагаемые с переменной в левую часть:

$sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = 0,25$

В левой части вынесем за скобки общий множитель $\sin x \cos x$:

$\sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0,25$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, выражение в скобках равно единице: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Уравнение принимает вид:

$\sin x \cos x = 0,25$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Отсюда $\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$. Подставим это в наше уравнение:

$\frac{\sin(2x)}{2} = 0,25$

Представим десятичную дробь $0,25$ как обыкновенную $\frac{1}{4}$:

$\frac{\sin(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения находится по формуле:

$2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Так как $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем наибольший отрицательный корень, перебирая целочисленные значения $n$.

• При $n=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{12} + \frac{0 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12}$. Корень положительный.
• При $n=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{12} + \frac{1 \cdot \pi}{2} = -\frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$. Корень положительный.
• При $n=-1$: $x = (-1)^{-1} \frac{\pi}{12} + \frac{(-1) \cdot \pi}{2} = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12}$. Корень отрицательный.
• При $n=-2$: $x = (-1)^{-2} \frac{\pi}{12} + \frac{(-2) \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \pi = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}$. Корень отрицательный.

Мы получили два отрицательных корня: $-\frac{7\pi}{12}$ и $-\frac{11\pi}{12}$. При дальнейших отрицательных значениях $n$ корни будут становиться все меньше. Нам нужно найти наибольший из отрицательных корней. Сравним полученные значения:

$-\frac{7\pi}{12} > -\frac{11\pi}{12}$

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $-\frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{12}$