Страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

359. Найдите все корни уравнения $\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $\frac{\pi}{3}<x<\pi$.

Сначала решим данное тригонометрическое уравнение:$ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение примет вид:$ \cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение этого уравнения записывается в виде совокупности:$ t = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Поскольку $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:$ t = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = x + \frac{\pi}{3}$. Это дает две серии корней.

1) Первая серия корней:
$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ x = \frac{5\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

2) Вторая серия корней:
$ x + \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = -\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ x = \frac{-5\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Далее необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют неравенству $\frac{\pi}{3} < x < \pi$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Проверим, попадает ли этот корень в заданный интервал: $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} < \pi$. Это неравенство верно, так как $\frac{2\pi}{6} < \frac{3\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$. Следовательно, $x = \frac{\pi}{2}$ является решением.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$, что больше $\pi$ и не подходит.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что меньше $\frac{\pi}{3}$ и не подходит.

Для второй серии корней $x = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{7\pi}{6}$, что меньше $\frac{\pi}{3}$ и не подходит.
При $n=1$, $x = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{-7\pi+12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Проверим, попадает ли этот корень в заданный интервал: $\frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} < \pi$. Это неравенство верно, так как $\frac{2\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$. Следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ является решением.
При $n=2$, $x = -\frac{7\pi}{6} + 4\pi = \frac{17\pi}{6}$, что больше $\pi$ и не подходит.

Таким образом, мы нашли два корня, удовлетворяющих заданному условию.

Ответ: $ \frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6} $

360. Решите уравнение:

1) $6\cos^2 x + 5\sin x - 7 = 0$;

2) $\sin^2 3x + 3\cos 3x = 3$;

3) $\cos 2x - 3\sin x = 2$;

4) $2\mathrm{tg}\frac{x}{3} + 2\mathrm{ctg}\frac{x}{3} = 5$.

1) Дано уравнение $6\cos^2 x + 5\sin x - 7 = 0$.

Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$6(1 - \sin^2 x) + 5\sin x - 7 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6 - 6\sin^2 x + 5\sin x - 7 = 0$

$-6\sin^2 x + 5\sin x - 1 = 0$

Умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от -1 до 1, то $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$6t^2 - 5t + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Оба корня $t_1 = 1/2$ и $t_2 = 1/3$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$, следовательно, оба являются решениями.

Выполним обратную замену:

а) $\sin x = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x = \frac{1}{3}$

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $(-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin^2 3x + 3\cos 3x = 3$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, где $\alpha = 3x$.

$(1 - \cos^2 3x) + 3\cos 3x = 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-\cos^2 3x + 3\cos 3x + 1 - 3 = 0$

$-\cos^2 3x + 3\cos 3x - 2 = 0$

Умножим на -1:

$\cos^2 3x - 3\cos 3x + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos 3x$, где $-1 \le t \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.

$t_1 = 1$ - удовлетворяет условию.

$t_2 = 2$ - не удовлетворяет условию, так как $\cos 3x$ не может быть больше 1.

Выполним обратную замену для подходящего корня:

$\cos 3x = 1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$3x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\cos 2x - 3\sin x = 2$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.

$(1 - 2\sin^2 x) - 3\sin x = 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$-2\sin^2 x - 3\sin x + 1 - 2 = 0$

$-2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0$

Умножим на -1:

$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$

Введем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

$t_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Оба корня удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Выполним обратную замену:

а) $\sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

б) $\sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $2\text{tg}\frac{x}{3} + 2\text{ctg}\frac{x}{3} = 5$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin\frac{x}{3} \ne 0$ и $\cos\frac{x}{3} \ne 0$. Это эквивалентно $\sin(\frac{2x}{3}) \ne 0$, то есть $\frac{2x}{3} \ne \pi k$, откуда $x \ne \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha}$.

$2\text{tg}\frac{x}{3} + \frac{2}{\text{tg}\frac{x}{3}} = 5$

Введем замену. Пусть $t = \text{tg}\frac{x}{3}$. С учетом ОДЗ, $t \ne 0$.

$2t + \frac{2}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$:

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$t_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня ненулевые, поэтому подходят. Выполним обратную замену:

а) $\text{tg}\frac{x}{3} = 2$

$\frac{x}{3} = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = 3\text{arctg}(2) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $\text{tg}\frac{x}{3} = \frac{1}{2}$

$\frac{x}{3} = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = 3\text{arctg}(\frac{1}{2}) + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $3\text{arctg}(2) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $3\text{arctg}(\frac{1}{2}) + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

361. Решите уравнение:

1) $3\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0;$

2) $3\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0;$

3) $4\sin^2 x + \sin 2x = 3;$

4) $\sin x - 4 \cos x = 1.$

1) Исходное уравнение: $3\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Мы можем переписать его как $3\sin x = \sqrt{3}\cos x$.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, и $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $3(\pm 1) - \sqrt{3}(0) = 0$, то есть $\pm 3 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.
$\frac{3\sin x}{\cos x} - \frac{\sqrt{3}\cos x}{\cos x} = 0$
$3\tan x - \sqrt{3} = 0$
$3\tan x = \sqrt{3}$
$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:
$x = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $3\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид $3(1) - 2( \pm 1)(0) - 0 = 0$, то есть $3 = 0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.
$\frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3\tan^2 x - 2\tan x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2+4}{6} = 1$
$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2-4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
Теперь вернемся к исходной переменной:
1. $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $4\sin^2 x + \sin 2x = 3$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и представим правую часть с помощью основного тригонометрического тождества $3 = 3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$4\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$
$4\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$(4\sin^2 x - 3\sin^2 x) + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
$\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
Мы получили однородное уравнение второго порядка. Как и в предыдущих случаях, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Возвращаемся к замене:
1. $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = -\arctan(3) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\sin x - 4\cos x = 1$.
Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения применим универсальную тригонометрическую подстановку.
Пусть $t = \tan(x/2)$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
Данная подстановка имеет ограничение: $x \neq \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли значения $x = \pi + 2\pi k$ решениями исходного уравнения.
Подставим $x=\pi$: $\sin(\pi) - 4\cos(\pi) = 0 - 4(-1) = 4$. Так как $4 \neq 1$, эти значения не являются корнями.
Теперь можно выполнить подстановку:
$\frac{2t}{1+t^2} - 4\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 1$
Умножим обе части на $1+t^2 \neq 0$:
$2t - 4(1-t^2) = 1+t^2$
$2t - 4 + 4t^2 = 1 + t^2$
$3t^2 + 2t - 5 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$t_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
Возвращаемся к замене:
1. $\tan(x/2) = 1 \implies x/2 = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\tan(x/2) = -\frac{5}{3} \implies x/2 = \arctan\left(-\frac{5}{3}\right) + \pi k \implies x = -2\arctan\left(\frac{5}{3}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = -2\arctan\left(\frac{5}{3}\right) + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

362. Решите уравнение:

1) $ \cos 4x + \cos 6x = 0; $

2) $ \sin 8x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right); $

3) $ \cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x; $

4) $ \sin 3x - 2 \sin x = 0. $

1) $ \cos 4x + \cos 6x = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ 2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $

$ 2\cos 5x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два независимых уравнения:

а) $ \cos 5x = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x = 0 $

Это также частный случай. Его решение:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin 8x = 2\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right) $

Сначала упростим правую часть уравнения, используя формулу приведения $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha $.

$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right) = -\sin 4x $

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin 8x = 2(-\sin 4x) $

$ \sin 8x = -2\sin 4x $

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Для $ \sin 8x $ это будет $ \sin(2 \cdot 4x) = 2\sin 4x \cos 4x $.

$ 2\sin 4x \cos 4x = -2\sin 4x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2\sin 4x \cos 4x + 2\sin 4x = 0 $

$ 2\sin 4x (\cos 4x + 1) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \sin 4x = 0 $

$ 4x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos 4x + 1 = 0 \implies \cos 4x = -1 $

$ 4x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $ k=0, x=\frac{\pi}{4} $, что соответствует $ n=1 $ в первой серии. При $ k=1, x=\frac{3\pi}{4} $, что соответствует $ n=3 $ в первой серии. Таким образом, все решения из второй серии содержатся в первой. Поэтому достаточно записать только первую серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

3) $ \cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \cos x + \cos 7x = 2\cos\frac{x+7x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 2\cos 4x \cos 3x $

Правая часть: $ \cos 3x + \cos 5x = 2\cos\frac{3x+5x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\cos 4x \cos x $

Уравнение принимает вид:

$ 2\cos 4x \cos 3x = 2\cos 4x \cos x $

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$ 2\cos 4x \cos 3x - 2\cos 4x \cos x = 0 $

$ 2\cos 4x (\cos 3x - \cos x) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos 3x - \cos x = 0 \implies \cos 3x = \cos x $

Решение уравнения вида $ \cos A = \cos B $ записывается как $ A = \pm B + 2\pi k $.

$ 3x = \pm x + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим два случая:

б.1) $ 3x = x + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

б.2) $ 3x = -x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Решения $ x = \pi k $ являются частью решений $ x = \frac{\pi k}{2} $ (при четных значениях $ k $). Поэтому для этой ветви достаточно решения $ x = \frac{\pi k}{2} $.

Объединяем решения из пунктов а) и б).

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z} $

4) $ \sin 3x - 2\sin x = 0 $

Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $.

Подставим ее в уравнение:

$ (3\sin x - 4\sin^3 x) - 2\sin x = 0 $

$ \sin x - 4\sin^3 x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (1 - 4\sin^2 x) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \sin x = 0 $

$ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ 1 - 4\sin^2 x = 0 $

$ 4\sin^2 x = 1 $

$ \sin^2 x = \frac{1}{4} $

$ \sin x = \pm \frac{1}{2} $

Решим два уравнения:

б.1) $ \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

б.2) $ \sin x = -\frac{1}{2} $

$ x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $

Решения для $ \sin x = \pm \frac{1}{2} $ можно объединить в одну более компактную серию. Это углы $ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} $ и т.д. Все они могут быть описаны формулой $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Таким образом, объединяем решения из пунктов а) и б).

Ответ: $ x = \pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $

363. Решите уравнение:

1) $\cos^2 x + \sin^2 3x = 1;$

2) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \cos^2 3x = 0,5.$

1) Исходное уравнение: $cos^2 x + sin^2 3x = 1$.
Для решения воспользуемся формулами понижения степени: $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$ и $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{1+cos(2x)}{2} + \frac{1-cos(6x)}{2} = 1$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
$1+cos(2x) + 1-cos(6x) = 2$
$2 + cos(2x) - cos(6x) = 2$
$cos(2x) - cos(6x) = 0$
$cos(2x) = cos(6x)$
Теперь применим формулу разности косинусов $cos \alpha - cos \beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$-2sin\frac{2x+6x}{2}sin\frac{2x-6x}{2} = 0$
$-2sin(4x)sin(-2x) = 0$
Используя свойство нечетности синуса $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:
$2sin(4x)sin(2x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:
а) $sin(4x) = 0$
$4x = \pi n$, где $n \in Z$
$x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$
б) $sin(2x) = 0$
$2x = \pi k$, где $k \in Z$
$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$
Заметим, что вторая серия решений ($x = \frac{\pi k}{2}$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi n}{4}$). Действительно, если в первой формуле взять $n=2k$, то мы получим $x = \frac{\pi (2k)}{4} = \frac{\pi k}{2}$. Таким образом, все решения можно описать одной формулой.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $sin^2 x + sin^2 2x - cos^2 3x = 0,5$.
Запишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$ и применим формулы понижения степени: $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$ и $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$.
$\frac{1-cos(2x)}{2} + \frac{1-cos(4x)}{2} - \frac{1+cos(6x)}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим все члены уравнения на 2:
$(1-cos(2x)) + (1-cos(4x)) - (1+cos(6x)) = 1$
Раскроем скобки:
$1 - cos(2x) + 1 - cos(4x) - 1 - cos(6x) = 1$
$1 - cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 1$
$- cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 0$
$cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) = 0$
Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(cos(6x) + cos(2x)) + cos(4x) = 0$
$2cos\frac{6x+2x}{2}cos\frac{6x-2x}{2} + cos(4x) = 0$
$2cos(4x)cos(2x) + cos(4x) = 0$
Вынесем общий множитель $cos(4x)$ за скобки:
$cos(4x)(2cos(2x) + 1) = 0$
Это уравнение распадается на два случая:
а) $cos(4x) = 0$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$
б) $2cos(2x) + 1 = 0$
$cos(2x) = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in Z$.

364. Решите уравнение:

1) $cos x - \sqrt{3} sin x = 1$;

2) $cos x + sin x = \sqrt{2} sin 2x$.

1) Дано уравнение $ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 1 $. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка, которое решается методом введения вспомогательного угла.
Выражение в левой части уравнения можно преобразовать к виду $ R \cos(x + \alpha) $. Для этого разделим и умножим левую часть на число $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $, где $ a=1 $ и $ b=-\sqrt{3} $ — коэффициенты при $ \cos x $ и $ \sin x $ соответственно.
$ R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.
Разделим обе части уравнения на 2:
$ \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{1}{2} $.
Заметим, что $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются значениями косинуса и синуса для угла $ \frac{\pi}{3} $. То есть, $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим эти значения в уравнение:
$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x = \frac{1}{2} $.
Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
Применив эту формулу, получим:
$ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $.
Теперь решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение.
Общее решение уравнения $ \cos y = c $ имеет вид $ y = \pm \arccos(c) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n $.
Так как $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, то:
$ x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.
Это приводит к двум сериям решений:
а) $ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $; $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение $ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin(2x) $.
Преобразуем левую часть уравнения $ \cos x + \sin x $ с помощью метода вспомогательного угла.
Здесь коэффициенты $ a=1, b=1 $. Вспомогательный множитель $ R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
Уравнение можно переписать так:
$ \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) = \sqrt{2} \sin(2x) $.
Разделим обе части на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sin(2x) $.
Заметив, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставим эти значения:
$ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos x + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin x = \sin(2x) $.
Левая часть соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Уравнение принимает вид:
$ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin(2x) $.
Чтобы решить это уравнение, приведем обе части к одной тригонометрической функции, например, к косинусу, используя формулу приведения $ \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.
$ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) $.
Уравнение вида $ \cos A = \cos B $ равносильно совокупности двух уравнений: $ A = B + 2\pi n $ и $ A = -B + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим оба случая:
а) $ x - \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2\pi n $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ x - \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2\pi n $
$ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n $
$ x - 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ -x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{4} - 2\pi n $.
Так как $ n $ может быть любым целым числом, то $ -n $ также пробегает все целые числа. Поэтому вторую серию решений можно записать как $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Сравним две полученные серии. Вторая серия $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $. Действительно, если в первой серии взять $ n=3k $, где $ k \in \mathbb{Z} $, мы получим $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi (3k)}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $.
Таким образом, все решения уравнения описываются первой серией.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

365. Решите уравнение:

1) $ \sin (60^\circ + x) \cos (x - 30^\circ) = 1; $

2) $ \cos 6x \cos x = \cos 5x; $

3) $ \sin 6x \cos 4x = \sin 10x \cos 8x; $

4) $ 4 \sin^2 2x = 3 - 2 \sin 6x \sin 2x . $

1) $ \sin(60^\circ + x)\cos(x - 30^\circ) = 1 $

Используем формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $. Применим ее к первому множителю:

$ \sin(60^\circ + x) = \cos(90^\circ - (60^\circ + x)) = \cos(90^\circ - 60^\circ - x) = \cos(30^\circ - x) $.

Так как косинус является четной функцией, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, мы можем записать $ \cos(30^\circ - x) = \cos(x - 30^\circ) $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \cos(x - 30^\circ)\cos(x - 30^\circ) = 1 $

$ \cos^2(x - 30^\circ) = 1 $

Это уравнение равносильно тому, что $ \cos(x - 30^\circ) = 1 $ или $ \cos(x - 30^\circ) = -1 $.

Общее решение для $ \cos \alpha = \pm 1 $ имеет вид $ \alpha = 180^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Следовательно:

$ x - 30^\circ = 180^\circ n $

$ x = 30^\circ + 180^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 30^\circ + 180^\circ n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 6x \cos x = \cos 5x $

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B)) $.

$ \frac{1}{2}(\cos(6x+x) + \cos(6x-x)) = \cos 5x $

$ \frac{1}{2}(\cos 7x + \cos 5x) = \cos 5x $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \cos 7x + \cos 5x = 2\cos 5x $

$ \cos 7x - \cos 5x = 0 $

Применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $ \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $.

$ -2\sin\frac{7x+5x}{2}\sin\frac{7x-5x}{2} = 0 $

$ -2\sin 6x \sin x = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 6x = 0 \implies 6x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что множество решений $ x = \pi k $ является подмножеством множества $ x = \frac{\pi n}{6} $ (этот случай получается, когда $ n $ кратно 6, т.е. $ n=6k $). Таким образом, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin 6x \cos 4x = \sin 10x \cos 8x $

Применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) $ к обеим частям уравнения.

Для левой части ($ A=6x, B=4x $):

$ \sin 6x \cos 4x = \frac{1}{2}(\sin(6x+4x) + \sin(6x-4x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 2x) $.

Для правой части ($ A=10x, B=8x $):

$ \sin 10x \cos 8x = \frac{1}{2}(\sin(10x+8x) + \sin(10x-8x)) = \frac{1}{2}(\sin 18x + \sin 2x) $.

Приравниваем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 18x + \sin 2x) $

$ \sin 10x + \sin 2x = \sin 18x + \sin 2x $

$ \sin 10x = \sin 18x $

$ \sin 18x - \sin 10x = 0 $

Используем формулу преобразования разности синусов в произведение: $ \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $.

$ 2\cos\frac{18x+10x}{2}\sin\frac{18x-10x}{2} = 0 $

$ 2\cos 14x \sin 4x = 0 $

Отсюда получаем два семейства решений:

1. $ \cos 14x = 0 \implies 14x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin 4x = 0 \implies 4x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{14} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ 4\sin^2 2x = 3 - 2\sin 6x \sin 2x $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ 4\sin^2 2x + 2\sin 6x \sin 2x - 3 = 0 $

Воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} $ и формулой преобразования произведения синусов в сумму $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

$ 4\sin^2 2x = 4 \cdot \frac{1-\cos(2 \cdot 2x)}{2} = 2(1-\cos 4x) = 2 - 2\cos 4x $.

$ 2\sin 6x \sin 2x = 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos(6x-2x) - \cos(6x+2x)) = \cos 4x - \cos 8x $.

Подставляем эти выражения в преобразованное уравнение:

$ (2 - 2\cos 4x) + (\cos 4x - \cos 8x) - 3 = 0 $

$ 2 - 2\cos 4x + \cos 4x - \cos 8x - 3 = 0 $

$ -\cos 4x - \cos 8x - 1 = 0 $

$ \cos 8x + \cos 4x + 1 = 0 $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $, чтобы выразить $ \cos 8x $ через $ \cos 4x $:

$ \cos 8x = \cos(2 \cdot 4x) = 2\cos^2 4x - 1 $.

Подставляем в уравнение:

$ (2\cos^2 4x - 1) + \cos 4x + 1 = 0 $

$ 2\cos^2 4x + \cos 4x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos 4x $ за скобки:

$ \cos 4x (2\cos 4x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 2\cos 4x + 1 = 0 \implies \cos 4x = -\frac{1}{2} \implies 4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k \implies 4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

366. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x - \cos 3x} = 0;$

3) $\frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2 \cos x;$

4) $\frac{1 + \cos x - \sin x}{\cos x} = 0.$

1) $\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе: $$ \begin{cases} \sin 2x = 0 \\ 1 + \cos 2x \neq 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение:
$\sin 2x = 0$
$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа)
$x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Теперь проверим второе условие (ОДЗ):
$1 + \cos 2x \neq 0 \implies \cos 2x \neq -1$
$2x \neq \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Сравним полученные решения $x = \frac{\pi k}{2}$ с ограничением $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
Серия решений $x = \frac{\pi k}{2}$ включает в себя значения при четных и нечетных $k$.
- Если $k$ — четное, то есть $k = 2m$, то $x = \frac{\pi (2m)}{2} = \pi m$. Для этих значений $2x = 2\pi m$, и $\cos(2x) = \cos(2\pi m) = 1$. Условие $1+1 \neq 0$ выполняется.
- Если $k$ — нечетное, то есть $k = 2m+1$, то $x = \frac{\pi (2m+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$. Эти значения совпадают с теми, что мы должны исключить.
Таким образом, из всех решений $x = \frac{\pi k}{2}$ мы должны оставить только те, где $k$ — четное, то есть $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Альтернативный способ:
Используем формулы двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.
$\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = 0$
$\frac{\sin x}{\cos x} = 0$, при условии $\cos x \neq 0$.
$\tan x = 0$
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$, $\cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0$, так что условие выполняется.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x - \cos 3x} = 0$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x + \sin 3x = 0 \\ \cos x - \cos 3x \neq 0 \end{cases} $$ Применим формулы преобразования суммы и разности в произведение:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
Система примет вид: $$ \begin{cases} 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} = 0 \\ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} \neq 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2\sin(2x)\cos(-x) = 0 \\ -2\sin(2x)\sin(-x) \neq 0 \end{cases} $$ Учитывая, что $\cos(-x) = \cos x$ и $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $$ \begin{cases} 2\sin(2x)\cos x = 0 \\ 2\sin(2x)\sin x \neq 0 \end{cases} $$ Из второго неравенства системы следует, что $\sin(2x) \neq 0$ и $\sin x \neq 0$.
Поскольку $\sin(2x) \neq 0$, то первое уравнение $2\sin(2x)\cos x = 0$ может выполняться только если $\cos x = 0$.
Найдем решения уравнения $\cos x = 0$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти решения условию $\sin(2x) \neq 0$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ в выражение $\sin(2x)$:
$\sin(2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = \sin(\pi + 2\pi n) = 0$.
Это противоречит условию $\sin(2x) \neq 0$. Следовательно, ни одно из значений $x$, при которых числитель обращается в ноль, не входит в область допустимых значений.

Ответ: корней нет.

3) $\frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2\cos x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $1 - \sin x \neq 0$, откуда $\sin x \neq 1$.
$\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эти значения нужно будет исключить из ответа.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $1 - \sin x$:
$\sin 2x = 2\cos x (1 - \sin x)$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x = 2\cos x - 2\sin x \cos x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$4\sin x \cos x - 2\cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:
$2\cos x (2\sin x - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим найденные решения с учетом ОДЗ ($\sin x \neq 1$).
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:
- при четных $n=2k$, имеем $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = 1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Эти корни посторонние.
- при нечетных $n=2k+1$, имеем $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\sin x = -1$, что удовлетворяет ОДЗ. Эти корни подходят.
Для серии $x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$:
$\sin x = \frac{1}{2}$, что не равно 1. Все решения этой серии удовлетворяют ОДЗ.
Объединяем подходящие решения.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{1 + \cos x - \sin x}{\cos x} = 0$

Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 1 + \cos x - \sin x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} $$ Решим первое уравнение:
$1 + \cos x - \sin x = 0 \implies \sin x - \cos x = 1$
Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно записать в виде:
$\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получаем:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Это уравнение имеет две серии решений:
1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим найденные решения с учетом условия $\cos x \neq 0$.
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, имеем $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$. Эти решения не удовлетворяют ОДЗ и являются посторонними.
Для серии $x = \pi + 2\pi n$, имеем $\cos(\pi + 2\pi n) = -1 \neq 0$. Эти решения подходят.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

367. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$\sin^2 x - 0{,}5\sin 2x = 1.$

Дано тригонометрическое уравнение:

$ \sin^2 x - 0,5 \sin 2x = 1 $

Для его решения преобразуем его, используя тригонометрические формулы. Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \sin^2 x - 0,5 \cdot (2 \sin x \cos x) = 1 $

$ \sin^2 x - \sin x \cos x = 1 $

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, чтобы заменить единицу в правой части уравнения:

$ \sin^2 x - \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x $

Вычтем $ \sin^2 x $ из обеих частей уравнения:

$ - \sin x \cos x = \cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$ \cos^2 x + \sin x \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\cos x + \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Это приводит к двум случаям:

1) $ \cos x = 0 $

2) $ \cos x + \sin x = 0 $

Рассмотрим каждый случай.

В первом случае, $ \cos x = 0 $, решениями являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — целое число. Нам нужно найти наименьший положительный корень. При $ k=0 $ получаем $ x = \frac{\pi}{2} $. Это наименьший положительный корень для данного случая.

Во втором случае, $ \cos x + \sin x = 0 $, что эквивалентно $ \sin x = -\cos x $. Заметим, что $ \cos x $ не может быть равен нулю (иначе и $ \sin x $ был бы равен нулю, что противоречит тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $). Поэтому можно разделить обе части на $ \cos x $, получив $ \tan x = -1 $. Решениями этого уравнения являются $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n $ — целое число. Наименьший положительный корень в этой серии получается при $ n=1 $ и равен $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $.

Мы получили два наименьших положительных корня из двух серий решений: $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{4} $. Теперь нужно выбрать наименьший из них.

Сравним $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{4} $. Приводя к общему знаменателю, имеем $ \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} $. Так как $ \frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} $, то наименьшим из этих двух корней является $ \frac{\pi}{2} $.

Следовательно, наименьший положительный корень исходного уравнения равен $ \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $

368. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $sin^3 x \cos x = 0,25 - \cos^3 x \sin x$.

Для решения данного уравнения перенесем все слагаемые с переменной в левую часть:

$sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = 0,25$

В левой части вынесем за скобки общий множитель $\sin x \cos x$:

$\sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0,25$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, выражение в скобках равно единице: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Уравнение принимает вид:

$\sin x \cos x = 0,25$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Отсюда $\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$. Подставим это в наше уравнение:

$\frac{\sin(2x)}{2} = 0,25$

Представим десятичную дробь $0,25$ как обыкновенную $\frac{1}{4}$:

$\frac{\sin(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения находится по формуле:

$2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Так как $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем наибольший отрицательный корень, перебирая целочисленные значения $n$.

• При $n=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{12} + \frac{0 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12}$. Корень положительный.
• При $n=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{12} + \frac{1 \cdot \pi}{2} = -\frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$. Корень положительный.
• При $n=-1$: $x = (-1)^{-1} \frac{\pi}{12} + \frac{(-1) \cdot \pi}{2} = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12}$. Корень отрицательный.
• При $n=-2$: $x = (-1)^{-2} \frac{\pi}{12} + \frac{(-2) \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \pi = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}$. Корень отрицательный.

Мы получили два отрицательных корня: $-\frac{7\pi}{12}$ и $-\frac{11\pi}{12}$. При дальнейших отрицательных значениях $n$ корни будут становиться все меньше. Нам нужно найти наибольший из отрицательных корней. Сравним полученные значения:

$-\frac{7\pi}{12} > -\frac{11\pi}{12}$

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $-\frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{12}$

369. Сколько корней уравнения $ \sin 3x - \sin x + \cos 2x = 0 $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right] $?

1. Решение уравнения

Исходное уравнение: $\sin(3x) - \sin(x) + \cos(2x) = 0$.

Для преобразования разности синусов воспользуемся формулой $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin(3x) - \sin(x) = 2\cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 2\cos(2x)\sin(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\cos(2x)\sin(x) + \cos(2x) = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $\cos(2x)$:

$\cos(2x)(2\sin(x) + 1) = 0$.

Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений: $\cos(2x) = 0$ или $2\sin(x) + 1 = 0$.

Решения первого уравнения $\cos(2x) = 0$: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решения второго уравнения $\sin(x) = -\frac{1}{2}$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$

Теперь найдем, какие из полученных корней принадлежат заданному промежутку.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$:

Решим двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$.

Разделим все части на $\pi$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le 1$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{k}{2} \le 1 - \frac{1}{4}$, что дает $-\frac{3}{4} \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{4}$.

Умножим на 2: $-\frac{3}{2} \le k \le \frac{3}{2}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: -1, 0, 1. Соответствующие им корни: $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$. Все три корня принадлежат заданному промежутку.

Для серий, где $\sin(x) = -\frac{1}{2}$:

Из серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем корень $x = -\frac{\pi}{6}$, который принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Другие целые значения $n$ дают корни за пределами этого промежутка.

Из серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ нет корней, принадлежащих данному промежутку, так как при $n=0$ корень $x = \frac{7\pi}{6} > \pi$, а при $n=-1$ корень $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ находятся 4 различных корня: $-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: 4

370. Решите неравенство:

1) $\sin 3x > \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\cos \frac{x}{2} \le \frac{1}{2};$

3) $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) \ge -\frac{1}{2};$

5) $\operatorname{tg} \left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{3};$

6) $\operatorname{ctg} \left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) \ge -1.$

1) Исходное неравенство: $ \sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Сделаем замену $ t = 3x $, получим неравенство $ \sin{t} > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства на единичной окружности является дуга, для которой ордината (значение синуса) больше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это соответствует углам в интервале $ (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) $.
С учетом периодичности функции синуса, общее решение для $ t $ будет:$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = 3x $:$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.
Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $ x $:$ \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $.
Упростим правую часть: $ \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $.
Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное неравенство: $ \cos(\frac{x}{2}) \le \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} $, получим $ \cos{t} \le \frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой абсцисса (значение косинуса) меньше или равна $ \frac{1}{2} $. Это соответствует углам в промежутке $ [\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}] $.
С учетом периодичности, общее решение для $ t $:$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $.
Умножим все части неравенства на 2:$ \frac{2\pi}{3} + 4\pi n \le x \le \frac{10\pi}{3} + 4\pi n $.
Ответ: $ x \in [\frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \frac{10\pi}{3} + 4\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное неравенство: $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{4} $, получим $ \sin{t} \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой ордината меньше или равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует углам в промежутке, который можно записать как $ [-\frac{4\pi}{3}; \frac{\pi}{3}] $ на одном из оборотов.
С учетом периодичности, общее решение для $ t $:$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей:$ -\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:$ -\frac{16\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n $.
Получаем: $ -\frac{19\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{12} + 2\pi n $.
Ответ: $ x \in [-\frac{19\pi}{12} + 2\pi n; \frac{\pi}{12} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное неравенство: $ \cos(2x - \frac{\pi}{6}) \ge -\frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = 2x - \frac{\pi}{6} $, получим $ \cos{t} \ge -\frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой абсцисса больше или равна $ -\frac{1}{2} $. Это соответствует углам в промежутке $ [-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}] $.
С учетом периодичности, общее решение для $ t $:$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $.
Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям:$ -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.
Упростим: $ -\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.
То есть $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.
Разделим все части на 2: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{5\pi}{12} + \pi n $.
Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n], n \in \mathbb{Z} $.

5) Исходное неравенство: $ \text{tg}(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{4} + \frac{\pi}{3} $, получим $ \text{tg}(t) \le \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Функция тангенса определена при $ t \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $ и возрастает на каждом интервале определения. Уравнение $ \text{tg}(t) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ имеет решение $ t = \frac{\pi}{6} $. Неравенство выполняется на интервалах, начинающихся от вертикальной асимптоты и доходящих до этого значения.
С учетом периодичности, решение для $ t $:$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{4} + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + \pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{3} $ из всех частей:$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{4} \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n $.
Упростим: $ -\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{4} \le -\frac{\pi}{6} + \pi n $.
Умножим все части на 4: $ -\frac{20\pi}{6} + 4\pi n < x \le -\frac{4\pi}{6} + 4\pi n $.
Сократим дроби: $ -\frac{10\pi}{3} + 4\pi n < x \le -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n $.
Ответ: $ x \in (-\frac{10\pi}{3} + 4\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

6) Исходное неравенство: $ \text{ctg}(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5}) \ge -1 $.
Сделаем замену $ t = \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5} $, получим $ \text{ctg}(t) \ge -1 $.
Функция котангенса определена при $ t \ne \pi k $ и убывает на каждом интервале определения. Уравнение $ \text{ctg}(t) = -1 $ имеет решение $ t = \frac{3\pi}{4} $. Неравенство выполняется на интервалах, начинающихся от вертикальной асимптоты и доходящих до этого значения.
С учетом периодичности, решение для $ t $:$ \pi n < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ \pi n < \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5} \le \frac{3\pi}{4} + \pi n $.
Прибавим $ \frac{\pi}{5} $ ко всем частям:$ \frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + \pi n $.
Упростим правую часть: $ \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} = \frac{15\pi+4\pi}{20} = \frac{19\pi}{20} $.
Получаем: $ \frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} \le \frac{19\pi}{20} + \pi n $.
Умножим все части на $ \frac{3}{2} $: $ \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{2} < x \le \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2} $.
Ответ: $ x \in (\frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{2}; \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2}], n \in \mathbb{Z} $.