Страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

401. Решите уравнение:

1) $3\log_3^2 x + 7\log_3 x - 6 = 0;$

2) $\ln^2 x - 4\ln x - 21 = 0;$

3) $\frac{2}{\lg x + 2} - \frac{1}{\lg x - 4} = 1;$

4) $\lg^2 x + 2\lg x - 20 = 5^{\log_5 \lg x};$

5) $\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6;$

6) $\log_5^2 x^3 - 5\log_5 x^2 + 1 = 0;$

7) $\log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1;$

8) $\log_9 x + \log_x 9 = 2,5.$

1) $3\log_3^2 x + 7\log_3 x - 6 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условием $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид: $3t^2 + 7t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Корни уравнения для $t$: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь выполним обратную замену:
1. $\log_3 x = \frac{2}{3} \implies x = 3^{2/3} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
2. $\log_3 x = -3 \implies x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = \frac{1}{27}$, $x_2 = \sqrt[3]{9}$.

2) $\ln^2 x - 4\ln x - 21 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\ln x$. ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \ln x$. Уравнение становится: $t^2 - 4t - 21 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 4$
$t_1 \cdot t_2 = -21$
Подходят корни $t_1 = 7$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:
1. $\ln x = 7 \implies x = e^7$.
2. $\ln x = -3 \implies x = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = e^7$, $x_2 = e^{-3}$.

3) $\frac{2}{\lg x + 2} - \frac{1}{\lg x - 4} = 1$

ОДЗ:
1. $x > 0$ (аргумент логарифма).
2. $\lg x + 2 \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2}$.
3. $\lg x - 4 \neq 0 \implies \lg x \neq 4 \implies x \neq 10^4$.

Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид: $\frac{2}{t + 2} - \frac{1}{t - 4} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{2(t - 4) - (t + 2)}{(t + 2)(t - 4)} = 1$
$\frac{2t - 8 - t - 2}{t^2 - 2t - 8} = 1$
$\frac{t - 10}{t^2 - 2t - 8} = 1$

При условии $t \neq -2$ и $t \neq 4$, умножим обе части на знаменатель: $t - 10 = t^2 - 2t - 8$
$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Оба корня не совпадают с ограничениями $t \neq -2, t \neq 4$.

Обратная замена:
1. $\lg x = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 10$, $x_2 = 100$.

4) $\lg^2 x + 2\lg x - 20 = 5^{\log_5 \lg x}$

ОДЗ:
1. $x > 0$ (аргумент $\lg x$).
2. $\lg x > 0$ (аргумент $\log_5$), что означает $x > 1$.
Итоговая ОДЗ: $x > 1$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $5^{\log_5 \lg x} = \lg x$

Уравнение принимает вид: $\lg^2 x + 2\lg x - 20 = \lg x$
$\lg^2 x + \lg x - 20 = 0$

Пусть $t = \lg x$. Тогда $t^2 + t - 20 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 = -5$, $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену:
1. $\lg x = -5$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $t = \lg x$ должен быть больше 0.
2. $\lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).

Ответ: $x = 10000$.

5) $\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{9} = 6$

ОДЗ: $x^2 > 0$ и $\frac{x}{9} > 0$. Из второго условия следует $x > 0$. Это удовлетворяет и первому условию. Итак, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем логарифмы, используя их свойства:
$\log_3 x^2 = 2\log_3 x$
$\log_3 \frac{x}{9} = \log_3 x - \log_3 9 = \log_3 x - 2$

Подставим в уравнение: $(2\log_3 x)(\log_3 x - 2) = 6$

Пусть $t = \log_3 x$. $2t(t - 2) = 6$
$2t^2 - 4t - 6 = 0$
$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.

Обратная замена:
1. $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.
2. $\log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = 27$.

6) $\log_5^2 x^3 - 5\log_5 x^2 + 1 = 0$

ОДЗ: $x^3 > 0 \implies x > 0$.

Используем свойства логарифмов:
$\log_5^2 x^3 = (\log_5 x^3)^2 = (3\log_5 x)^2 = 9\log_5^2 x$
$5\log_5 x^2 = 5(2\log_5 x) = 10\log_5 x$

Подставим в уравнение: $9\log_5^2 x - 10\log_5 x + 1 = 0$

Пусть $t = \log_5 x$. $9t^2 - 10t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$t_1 = \frac{10 + 8}{18} = 1$
$t_2 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Обратная замена:
1. $\log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$.
2. $\log_5 x = \frac{1}{9} \implies x = 5^{1/9} = \sqrt[9]{5}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = \sqrt[9]{5}$.

7) $\log_7 \frac{7}{x} + \log_7^3 x = 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем первый логарифм: $\log_7 \frac{7}{x} = \log_7 7 - \log_7 x = 1 - \log_7 x$

Подставим в уравнение: $(1 - \log_7 x) + \log_7^3 x = 1$
$\log_7^3 x - \log_7 x = 0$

Пусть $t = \log_7 x$. $t^3 - t = 0$
$t(t^2 - 1) = 0$
$t(t-1)(t+1) = 0$
Корни: $t_1 = 0$, $t_2 = 1$, $t_3 = -1$.

Обратная замена:
1. $\log_7 x = 0 \implies x = 7^0 = 1$.
2. $\log_7 x = 1 \implies x = 7^1 = 7$.
3. $\log_7 x = -1 \implies x = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Все три корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{7}$, $x_2 = 1$, $x_3 = 7$.

8) $\log_9 x + \log_x 9 = 2,5$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. $\log_x 9 = \frac{1}{\log_9 x}$

Уравнение принимает вид: $\log_9 x + \frac{1}{\log_9 x} = 2,5$

Пусть $t = \log_9 x$. Из ОДЗ ($x \neq 1$) следует, что $t \neq 0$. $t + \frac{1}{t} = 2,5$

Умножим обе части на $t$: $t^2 + 1 = 2,5t$
$t^2 - 2,5t + 1 = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
$t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
$t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

Обратная замена:
1. $\log_9 x = 2 \implies x = 9^2 = 81$.
2. $\log_9 x = 0,5 \implies x = 9^{0,5} = \sqrt{9} = 3$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 81$.

402. Решите неравенство:

1) $\lg^2 x - \lg x \ge 0;$

2) $\ln^2 x + \ln x \le 0;$

3) $3\log_8^2 x + 2\log_8 x - 5 \ge 0;$

4) $\log_{\frac{1}{3}}^2 (-x) - \log_{\frac{1}{3}} (-x) \le 2;$

5) $\frac{\lg^2 x - 3\lg x + 3}{\lg x - 1} > 1;$

6) $\frac{\log_6^2 x + 2\log_6 x - 6}{\log_6 x} < 1.$

1) $\lg^2 x - \lg x \ge 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - t \ge 0$

Разложим левую часть на множители:
$t(t-1) \ge 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(t-1)=0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = 1$. Парабола $y=t^2-t$ ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится за пределами корней.
$t \le 0$ или $t \ge 1$.

Выполним обратную замену:
$\lg x \le 0$ или $\lg x \ge 1$.

Решим каждое неравенство. Основание десятичного логарифма равно 10, что больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется.
1. $\lg x \le 0 \implies \lg x \le \lg 1 \implies x \le 1$.
2. $\lg x \ge 1 \implies \lg x \ge \lg 10 \implies x \ge 10$.

Объединим полученные решения и учтем ОДЗ ($x > 0$):
$x \in (0, 1] \cup [10, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [10, +\infty)$.

2) $\ln^2 x + \ln x \le 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \ln x$. Неравенство принимает вид:
$t^2 + t \le 0$

Разложим левую часть на множители:
$t(t+1) \le 0$

Корни уравнения $t(t+1)=0$ равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 0$. Парабола $y=t^2+t$ ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями.
$-1 \le t \le 0$.

Выполним обратную замену:
$-1 \le \ln x \le 0$.

Представим -1 и 0 в виде натуральных логарифмов: $-1 = \ln(e^{-1})$, $0 = \ln(1)$.
$\ln(e^{-1}) \le \ln x \le \ln(1)$.

Основание натурального логарифма $e \approx 2.718 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.
$e^{-1} \le x \le 1$, что то же самое, что и $\frac{1}{e} \le x \le 1$.

Данный интервал удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [\frac{1}{e}, 1]$.

3) $3\log_8^2 x + 2\log_8 x - 5 \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_8 x$. Неравенство принимает вид:
$3t^2 + 2t - 5 \ge 0$.

Решим квадратное уравнение $3t^2 + 2t - 5 = 0$ для нахождения корней.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
$t_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Парабола $y=3t^2 + 2t - 5$ ветвями вверх, значит, решение неравенства находится за пределами корней:
$t \le -\frac{5}{3}$ или $t \ge 1$.

Выполним обратную замену:
$\log_8 x \le -\frac{5}{3}$ или $\log_8 x \ge 1$.

Решим каждое неравенство. Основание логарифма 8 > 1, знак неравенства сохраняется.
1. $\log_8 x \le -\frac{5}{3} \implies x \le 8^{-5/3} \implies x \le (2^3)^{-5/3} \implies x \le 2^{-5} \implies x \le \frac{1}{32}$.
2. $\log_8 x \ge 1 \implies x \ge 8^1 \implies x \ge 8$.

Объединим решения и учтем ОДЗ ($x > 0$):
$x \in (0, \frac{1}{32}] \cup [8, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{32}] \cup [8, +\infty)$.

4) $\log_{\frac{1}{3}}^2 (-x) - \log_{\frac{1}{3}} (-x) \le 2$

ОДЗ: $-x > 0 \implies x < 0$.

Перенесем 2 в левую часть и сделаем замену. Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$.
$t^2 - t - 2 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. По теореме Виета $t_1 = -1$, $t_2 = 2$.
Разложим на множители: $(t+1)(t-2) \le 0$.

Парабола $y=t^2 - t - 2$ ветвями вверх, решение находится между корнями:
$-1 \le t \le 2$.

Выполним обратную замену:
$-1 \le \log_{\frac{1}{3}} (-x) \le 2$.

Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому при переходе к аргументам знаки неравенства меняются на противоположные.
$(\frac{1}{3})^2 \le -x \le (\frac{1}{3})^{-1}$
$\frac{1}{9} \le -x \le 3$.

Умножим все части двойного неравенства на -1, снова поменяв знаки неравенства:
$-3 \le x \le -\frac{1}{9}$.

Полученный интервал $[-3, -\frac{1}{9}]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $x \in [-3, -\frac{1}{9}]$.

5) $\frac{\lg^2 x - 3\lg x + 3}{\lg x - 1} > 1$

ОДЗ: $x > 0$ и знаменатель не равен нулю $\lg x - 1 \neq 0 \implies \lg x \neq 1 \implies x \neq 10$.

Сделаем замену. Пусть $t = \lg x$. Тогда $t \neq 1$.
$\frac{t^2 - 3t + 3}{t - 1} > 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{t^2 - 3t + 3}{t - 1} - 1 > 0$
$\frac{t^2 - 3t + 3 - (t - 1)}{t - 1} > 0$
$\frac{t^2 - 4t + 4}{t - 1} > 0$
$\frac{(t - 2)^2}{t - 1} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Числитель $(t - 2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен 0 при $t=2$ и положителен при $t \neq 2$. Поскольку неравенство строгое, $t \neq 2$.
Для того чтобы дробь была положительной при $t \neq 2$, знаменатель также должен быть положительным.
$t - 1 > 0 \implies t > 1$.

Таким образом, решение для $t$: $t > 1$ и $t \neq 2$. Это можно записать как $t \in (1, 2) \cup (2, +\infty)$.

Выполним обратную замену:
$1 < \lg x < 2$ или $\lg x > 2$.
1. $1 < \lg x < 2 \implies \lg 10 < \lg x < \lg 100 \implies 10 < x < 100$.
2. $\lg x > 2 \implies \lg x > \lg 100 \implies x > 100$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (10, 100) \cup (100, +\infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (10, 100) \cup (100, +\infty)$.

6) $\frac{\log_6^2 x + 2\log_6 x - 6}{\log_6 x} < 1$

ОДЗ: $x > 0$ и $\log_6 x \neq 0 \implies x \neq 1$.

Сделаем замену. Пусть $t = \log_6 x$. Тогда $t \neq 0$.
$\frac{t^2 + 2t - 6}{t} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{t^2 + 2t - 6}{t} - 1 < 0$
$\frac{t^2 + 2t - 6 - t}{t} < 0$
$\frac{t^2 + t - 6}{t} < 0$.

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.
$\frac{(t+3)(t-2)}{t} < 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Нули выражения: $t = -3, t = 0, t = 2$.
Рассмотрим знаки на интервалах:
- При $t > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $0 < t < 2$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
- При $-3 < t < 0$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
- При $t < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Неравенство выполняется при $t < -3$ или $0 < t < 2$.

Выполним обратную замену:
$\log_6 x < -3$ или $0 < \log_6 x < 2$.
Основание логарифма 6 > 1, знаки неравенств сохраняются.
1. $\log_6 x < -3 \implies \log_6 x < \log_6(6^{-3}) \implies x < \frac{1}{216}$. С учетом ОДЗ ($x>0$): $0 < x < \frac{1}{216}$.
2. $0 < \log_6 x < 2 \implies \log_6 1 < \log_6 x < \log_6 (6^2) \implies 1 < x < 36$.

Объединим полученные интервалы.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{216}) \cup (1, 36)$.

403. Решите уравнение:

1) $x^{\log_5 x - 2} = 125$;

2) $x^{\lg x} = 100x$;

3) $x^{2\log_7 x} = 7x$;

4) $x^{\log_6 x} = \frac{36}{x}$.

1) $x^{\log_5 x - 2} = 125$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x - 2}) = \log_5(125)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получаем:

$(\log_5 x - 2) \cdot \log_5 x = \log_5(5^3)$

$(\log_5 x - 2) \cdot \log_5 x = 3$

Введем замену: пусть $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид:

$(t-2)t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Сделаем обратную замену:

1. Если $\log_5 x = 3$, то $x = 5^3 = 125$.

2. Если $\log_5 x = -1$, то $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($125$ и $\frac{1}{5}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $125; \frac{1}{5}$.

2) $x^{\lg x} = 100x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм):

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100x)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получаем:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg 100 + \lg x$

$(\lg x)^2 = \lg(10^2) + \lg x$

$(\lg x)^2 = 2 + \lg x$

Введем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$t^2 = 2 + t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Сделаем обратную замену:

1. Если $\lg x = 2$, то $x = 10^2 = 100$.

2. Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = \frac{1}{10}$.

Оба корня ($100$ и $\frac{1}{10}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $100; \frac{1}{10}$.

3) $x^{2\log_7 x} = 7x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 7:

$\log_7(x^{2\log_7 x}) = \log_7(7x)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получаем:

$(2\log_7 x) \cdot (\log_7 x) = \log_7 7 + \log_7 x$

$2(\log_7 x)^2 = 1 + \log_7 x$

Введем замену: пусть $t = \log_7 x$. Уравнение примет вид:

$2t^2 = 1 + t$

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$

Сделаем обратную замену:

1. Если $\log_7 x = 1$, то $x = 7^1 = 7$.

2. Если $\log_7 x = -\frac{1}{2}$, то $x = 7^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.

Оба корня ($7$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $7; \frac{\sqrt{7}}{7}$.

4) $x^{\log_6 x} = \frac{36}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6:

$\log_6(x^{\log_6 x}) = \log_6(\frac{36}{x})$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$, получаем:

$(\log_6 x) \cdot (\log_6 x) = \log_6 36 - \log_6 x$

$(\log_6 x)^2 = \log_6(6^2) - \log_6 x$

$(\log_6 x)^2 = 2 - \log_6 x$

Введем замену: пусть $t = \log_6 x$. Уравнение примет вид:

$t^2 = 2 - t$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Сделаем обратную замену:

1. Если $\log_6 x = 1$, то $x = 6^1 = 6$.

2. Если $\log_6 x = -2$, то $x = 6^{-2} = \frac{1}{36}$.

Оба корня ($6$ и $\frac{1}{36}$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $6; \frac{1}{36}$.

404. Найдите производную функции:

1) $y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} - 1$;

2) $y = (x^2 + x + 1)(x^2 - 4x + 1)$;

3) $y = \frac{3x - 1}{x^2 + 1}$;

4) $y = (3 - 2x)\sqrt{x}$;

5) $y = \sqrt{x} \sin x$;

6) $y = 2^x \cos x$;

7) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{6}$;

8) $y = (2x - 1)^6$;

9) $y = \log_3 (2x^2 - 3x + 1)$;

10) $y = 14^{2 - 5x}$;

11) $y = x^3 + \ln (6x - 1)$;

12) $y = \frac{1}{2x^3} + \frac{4}{x}$.

1) $y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} - 1$

Для нахождения производной представим функцию в виде суммы степенных функций:$y = x^6 + 2x^4 + 4x^{-2} - 1$.Используем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Производная константы равна нулю.$y' = (x^6)' + (2x^4)' + (4x^{-2})' - (1)'$$y' = 6x^{6-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} + 4 \cdot (-2)x^{-2-1} - 0$$y' = 6x^5 + 8x^3 - 8x^{-3}$Представим результат без отрицательных степеней:$y' = 6x^5 + 8x^3 - \frac{8}{x^3}$

Ответ: $y' = 6x^5 + 8x^3 - \frac{8}{x^3}$

2) $y = (x^2 + x + 1)(x^2 - 4x + 1)$

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить выражение:$y = x^2(x^2 - 4x + 1) + x(x^2 - 4x + 1) + 1(x^2 - 4x + 1)$$y = x^4 - 4x^3 + x^2 + x^3 - 4x^2 + x + x^2 - 4x + 1$Приведем подобные слагаемые:$y = x^4 + (-4x^3 + x^3) + (x^2 - 4x^2 + x^2) + (x - 4x) + 1$$y = x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 3x + 1$Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции:$y' = (x^4)' - (3x^3)' - (2x^2)' - (3x)' + (1)'$$y' = 4x^3 - 3 \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x - 3 + 0$$y' = 4x^3 - 9x^2 - 4x - 3$

Ответ: $y' = 4x^3 - 9x^2 - 4x - 3$

3) $y = \frac{3x - 1}{x^2 + 1}$

Используем правило дифференцирования частного (дроби) $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u = 3x - 1$ и $v = x^2 + 1$.Тогда $u' = (3x-1)' = 3$ и $v' = (x^2 + 1)' = 2x$.Подставляем в формулу:$y' = \frac{(3x - 1)'(x^2 + 1) - (3x - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}$$y' = \frac{3(x^2 + 1) - (3x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$Раскроем скобки в числителе:$y' = \frac{3x^2 + 3 - (6x^2 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$Приведем подобные слагаемые в числителе:$y' = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{-3x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$

4) $y = (3 - 2x)\sqrt{x}$

Преобразуем выражение, раскрыв скобки: $y = 3\sqrt{x} - 2x\sqrt{x}$.Представим корни как степени: $y = 3x^{1/2} - 2x \cdot x^{1/2} = 3x^{1/2} - 2x^{3/2}$.Теперь найдем производную как сумму степенных функций:$y' = (3x^{1/2})' - (2x^{3/2})'$$y' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$$y' = \frac{3}{2}x^{-1/2} - 3x^{1/2}$Вернемся к записи с корнями:$y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 3\sqrt{x}$

Ответ: $y' = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 3\sqrt{x}$

5) $y = \sqrt{x} \sin x$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sin x$.Тогда $u' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $v' = (\sin x)' = \cos x$.Подставляем в формулу:$y' = (\sqrt{x})' \sin x + \sqrt{x} (\sin x)'$$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\sin x + \sqrt{x}\cos x$

Ответ: $y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos x$

6) $y = 2^x \cos x$

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.Пусть $u = 2^x$ и $v = \cos x$.Используем формулы $(a^x)' = a^x \ln a$ и $(\cos x)' = -\sin x$.$u' = (2^x)' = 2^x \ln 2$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.Подставляем в формулу:$y' = (2^x)' \cos x + 2^x (\cos x)'$$y' = (2^x \ln 2)\cos x + 2^x(-\sin x)$Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:$y' = 2^x(\ln 2 \cdot \cos x - \sin x)$

Ответ: $y' = 2^x(\cos x \ln 2 - \sin x)$

7) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{6}$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg} u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{\cos^2 u}$.Внутренняя функция $g(x) = \frac{x}{6}$, ее производная $g'(x) = (\frac{1}{6}x)' = \frac{1}{6}$.Собираем все вместе:$y' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{6})} \cdot (\frac{x}{6})'$$y' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{6})} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6\cos^2(\frac{x}{6})}$

Ответ: $y' = \frac{1}{6\cos^2(\frac{x}{6})}$

8) $y = (2x - 1)^6$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции.Внешняя функция $f(u) = u^6$, ее производная $f'(u) = 6u^5$.Внутренняя функция $g(x) = 2x - 1$, ее производная $g'(x) = 2$.Подставляем в формулу:$y' = 6(2x - 1)^{6-1} \cdot (2x - 1)'$$y' = 6(2x - 1)^5 \cdot 2$$y' = 12(2x - 1)^5$

Ответ: $y' = 12(2x - 1)^5$

9) $y = \log_3(2x^2 - 3x + 1)$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a}$.Внешняя функция $f(u) = \log_3 u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u \ln 3}$.Внутренняя функция $g(x) = 2x^2 - 3x + 1$, ее производная $g'(x) = 4x - 3$.Собираем все вместе:$y' = \frac{1}{(2x^2 - 3x + 1) \ln 3} \cdot (2x^2 - 3x + 1)'$$y' = \frac{1}{(2x^2 - 3x + 1) \ln 3} \cdot (4x - 3)$$y' = \frac{4x - 3}{(2x^2 - 3x + 1) \ln 3}$

Ответ: $y' = \frac{4x - 3}{(2x^2 - 3x + 1)\ln 3}$

10) $y = 14^{2 - 5x}$

Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.Здесь $a = 14$ и $u = 2 - 5x$.Производная показателя степени: $u' = (2 - 5x)' = -5$.Подставляем в формулу:$y' = 14^{2 - 5x} \cdot \ln 14 \cdot (2 - 5x)'$$y' = 14^{2 - 5x} \cdot \ln 14 \cdot (-5)$$y' = -5 \cdot 14^{2 - 5x} \ln 14$

Ответ: $y' = -5 \cdot 14^{2 - 5x} \ln 14$

11) $y = x^3 + \ln(6x - 1)$

Используем правило дифференцирования суммы. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^2$.Производная второго слагаемого $\ln(6x - 1)$ — это производная сложной функции.Внешняя функция $f(u) = \ln u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u}$.Внутренняя функция $g(x) = 6x - 1$, ее производная $g'(x) = 6$.$(\ln(6x - 1))' = \frac{1}{6x - 1} \cdot (6x-1)' = \frac{1}{6x - 1} \cdot 6 = \frac{6}{6x - 1}$.Складываем производные:$y' = 3x^2 + \frac{6}{6x - 1}$

Ответ: $y' = 3x^2 + \frac{6}{6x - 1}$

12) $y = \frac{1}{2x^3} + \frac{4}{x}$

Представим функцию в виде суммы степенных функций:$y = \frac{1}{2}x^{-3} + 4x^{-1}$.Используем правило дифференцирования суммы и формулу для степенной функции:$y' = (\frac{1}{2}x^{-3})' + (4x^{-1})'$$y' = \frac{1}{2} \cdot (-3)x^{-3-1} + 4 \cdot (-1)x^{-1-1}$$y' = -\frac{3}{2}x^{-4} - 4x^{-2}$Перепишем результат с положительными степенями:$y' = -\frac{3}{2x^4} - \frac{4}{x^2}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{2x^4} - \frac{4}{x^2}$

405. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \frac{3x^2}{1-x}$, $x_0 = -1$;

2) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x}$, $x_0 = 2$;

3) $f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 - \sin x}$, $x_0 = 0$;

4) $f(x) = \cos 2x - \sin \frac{\pi}{3}$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

5) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$;

6) $f(x) = e^{2x - 1}$, $x_0 = \frac{1}{2}$;

1) $f(x) = \frac{3x^2}{1-x}, x_0 = -1$

Для нахождения производной функции, представленной в виде частного, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3x^2$ и $v(x) = 1-x$. Тогда их производные равны:

$u'(x) = (3x^2)' = 6x$

$v'(x) = (1-x)' = -1$

Подставим эти выражения в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(6x)(1-x) - (3x^2)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{6x - 6x^2 + 3x^2}{(1-x)^2} = \frac{6x - 3x^2}{(1-x)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = \frac{6(-1) - 3(-1)^2}{(1 - (-1))^2} = \frac{-6 - 3}{2^2} = \frac{-9}{4}$.

Ответ: $-\frac{9}{4}$.

2) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x}, x_0 = 2$

Данная функция является сложной. Для нахождения её производной применим цепное правило (правило дифференцирования сложной функции): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, и её производная $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Внутренняя функция $h(x) = 5x^2 - 2x$, и её производная $h'(x) = 10x - 2$.

Тогда производная исходной функции равна:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} \cdot (10x - 2) = \frac{2(5x - 1)}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} = \frac{5x - 1}{\sqrt{5x^2 - 2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{5(2) - 1}{\sqrt{5(2)^2 - 2(2)}} = \frac{10 - 1}{\sqrt{5 \cdot 4 - 4}} = \frac{9}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

3) $f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 - \sin x}, x_0 = 0$

Снова используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 1 + \sin x$ и $v(x) = 4 - \sin x$.

Находим производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (1 + \sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (4 - \sin x)' = -\cos x$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(\cos x)(4 - \sin x) - (1 + \sin x)(-\cos x)}{(4 - \sin x)^2} = \frac{4\cos x - \sin x \cos x + \cos x + \sin x \cos x}{(4 - \sin x)^2} = \frac{5\cos x}{(4 - \sin x)^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 0$. Учитывая, что $\sin(0) = 0$ и $\cos(0) = 1$:

$f'(0) = \frac{5\cos(0)}{(4 - \sin(0))^2} = \frac{5 \cdot 1}{(4 - 0)^2} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

4) $f(x) = \cos 2x - \sin \frac{\pi}{3}, x_0 = \frac{\pi}{2}$

В данной функции слагаемое $\sin \frac{\pi}{3}$ является константой, так как не зависит от $x$. Производная константы равна нулю.

Найдём производную от $\cos 2x$, используя цепное правило. Производная от $\cos u$ равна $-\sin u$, а производная от $2x$ равна $2$.

$f'(x) = (\cos 2x)' - (\sin \frac{\pi}{3})' = (-\sin(2x)) \cdot (2x)' - 0 = -2\sin(2x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = -2\sin(\pi)$.

Так как $\sin(\pi) = 0$, то:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

5) $f(x) = \frac{\ln x}{x}, x_0 = 1$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ для $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$.

Производные этих функций:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (x)' = 1$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$. Учитывая, что $\ln(1) = 0$:

$f'(1) = \frac{1 - \ln(1)}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

6) $f(x) = e^{2x-1}, x_0 = \frac{1}{2}$

Это сложная функция, для которой применяем цепное правило. Внешняя функция $g(u) = e^u$ (производная $g'(u)=e^u$), внутренняя функция $h(x) = 2x-1$ (производная $h'(x)=2$).

Производная исходной функции:

$f'(x) = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = e^{2x-1} \cdot 2 = 2e^{2x-1}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:

$f'(\frac{1}{2}) = 2e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = 2e^{1 - 1} = 2e^0$.

Так как любое число в степени 0 равно 1 ($e^0 = 1$), получаем:

$f'(\frac{1}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$.