Страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

429. Для функции $f$ найдите на указанном промежутке $I$ первообразную $F$, график которой проходит через данную точку $M$:

1) $f(x) = 2x + 4, I = (-\infty; +\infty), M(2; 1);$

2) $f(x) = 4x^3 - 2x + 3, I = (-\infty; +\infty), M(1; 8);$

3) $f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} - 5 \sin 5x, I = (-\infty; +\infty), M(\pi; 0);$

4) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{1-2x}}, I = (-\infty; \frac{1}{2}), M(-4; 1);$

5) $f(x) = 6x^2 + e^{\frac{x}{4}}, I = (-\infty; +\infty), M(2; 4\sqrt{e});$

6) $f(x) = (5x - 3)^4, I = (-\infty; +\infty), M(1; 1);$

1)

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 2x + 4$ вычислим неопределенный интеграл: $F(x) = \int (2x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(2; 1)$, что означает $F(2) = 1$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти $C$: $1 = 2^2 + 4 \cdot 2 + C$ $1 = 4 + 8 + C$ $1 = 12 + C$ $C = 1 - 12 = -11$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 + 4x - 11$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 4x - 11$.

2)

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 4x^3 - 2x + 3$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int (4x^3 - 2x + 3) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^4 - x^2 + 3x + C$.

Так как график проходит через точку $M(1; 8)$, то $F(1) = 8$. Найдем постоянную $C$: $8 = 1^4 - 1^2 + 3 \cdot 1 + C$ $8 = 1 - 1 + 3 + C$ $8 = 3 + C$ $C = 8 - 3 = 5$.

Искомая первообразная: $F(x) = x^4 - x^2 + 3x + 5$.

Ответ: $F(x) = x^4 - x^2 + 3x + 5$.

3)

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - 5\sin 5x$: $F(x) = \int (\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - 5\sin 5x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2} - 5 \cdot \frac{-\cos(5x)}{5} + C = \sin\frac{x}{2} + \cos 5x + C$.

График проходит через точку $M(\pi; 0)$, следовательно $F(\pi) = 0$. Подставим значения: $0 = \sin\frac{\pi}{2} + \cos(5\pi) + C$ $0 = 1 + (-1) + C$ $C = 0$.

Искомая первообразная: $F(x) = \sin\frac{x}{2} + \cos 5x$.

Ответ: $F(x) = \sin\frac{x}{2} + \cos 5x$.

4)

Найдем общий вид первообразной для $f(x) = \frac{2}{\sqrt{1-2x}} = 2(1-2x)^{-1/2}$: $F(x) = \int 2(1-2x)^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{(1-2x)^{1/2}}{-2 \cdot (1/2)} + C = -2\sqrt{1-2x} + C$.

График проходит через точку $M(-4; 1)$, поэтому $F(-4) = 1$: $1 = -2\sqrt{1-2(-4)} + C$ $1 = -2\sqrt{1+8} + C$ $1 = -2\sqrt{9} + C$ $1 = -2 \cdot 3 + C$ $1 = -6 + C$ $C = 7$.

Искомая первообразная: $F(x) = -2\sqrt{1-2x} + 7$.

Ответ: $F(x) = 7 - 2\sqrt{1-2x}$.

5)

Найдем общий вид первообразной для $f(x) = 6x^2 + e^{x/4}$: $F(x) = \int (6x^2 + e^{\frac{x}{4}}) dx = 6\frac{x^3}{3} + \frac{e^{\frac{x}{4}}}{1/4} + C = 2x^3 + 4e^{\frac{x}{4}} + C$.

График проходит через точку $M(2; 4\sqrt{e})$. Заметим, что $4\sqrt{e} = 4e^{1/2}$. Следовательно, $F(2) = 4e^{1/2}$: $4e^{1/2} = 2(2)^3 + 4e^{\frac{2}{4}} + C$ $4e^{1/2} = 16 + 4e^{1/2} + C$ $0 = 16 + C$ $C = -16$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2x^3 + 4e^{\frac{x}{4}} - 16$.

Ответ: $F(x) = 2x^3 + 4e^{\frac{x}{4}} - 16$.

6)

Найдем общий вид первообразной для $f(x) = (5x - 3)^4$: $F(x) = \int (5x - 3)^4 dx = \frac{(5x - 3)^{4+1}}{5 \cdot (4+1)} + C = \frac{(5x - 3)^5}{25} + C$.

График проходит через точку $M(1; 1)$, значит $F(1) = 1$: $1 = \frac{(5 \cdot 1 - 3)^5}{25} + C$ $1 = \frac{2^5}{25} + C$ $1 = \frac{32}{25} + C$ $C = 1 - \frac{32}{25} = \frac{25-32}{25} = -\frac{7}{25}$.

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{(5x - 3)^5}{25} - \frac{7}{25}$.

Ответ: $F(x) = \frac{(5x - 3)^5 - 7}{25}$.

430. Тело движется прямолинейно со скоростью, которая в любой момент времени $t$ определяется по закону $v(t) = t^2$. Определите закон движения тела, если за первые 3 с движения тело прошло путь 10 м.

Закон движения тела $s(t)$ (координата тела в момент времени $t$) связан с его скоростью $v(t)$ через производную: $v(t) = s'(t)$. Следовательно, чтобы найти закон движения, нужно найти первообразную (интеграл) от функции скорости.

По условию, скорость тела в любой момент времени $t$ определяется по закону $v(t) = t^2$.

Находим общий вид закона движения путем интегрирования функции скорости:

$s(t) = \int v(t) dt = \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которая представляет собой начальное положение тела, то есть его координату в момент времени $t=0$. Таким образом, $s(0) = C$.

Далее, используем второе условие задачи: за первые 3 секунды движения тело прошло путь 10 м. Путь, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, вычисляется по формуле:

$L = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$

В данном случае "первые 3 секунды" означают временной интервал от $t_1 = 0$ до $t_2 = 3$. Так как скорость $v(t) = t^2$ всегда неотрицательна при $t \ge 0$, то модуль скорости равен самой скорости: $|v(t)| = t^2$.

Теперь вычислим путь, пройденный телом за первые 3 секунды, исходя из заданного закона скорости:

$L = \int_0^3 t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$ м.

Результат вычисления (9 м) находится в противоречии с условием задачи, где указано, что пройденный путь составляет 10 м. Путь, пройденный телом, определяется только законом скорости и временным интервалом, и не зависит от начального положения $C$. Следовательно, невозможно найти закон движения, который бы удовлетворял обоим условиям задачи одновременно.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка в одном из числовых значений. Например, если бы пройденный путь был равен 9 м, то условие было бы выполнено для любого закона движения вида $s(t) = \frac{t^3}{3} + C$. Для нахождения конкретного значения $C$ потребовалось бы дополнительное условие, например, знание координаты тела в какой-либо момент времени.

Ответ: Условия задачи противоречивы. На основе приведенных данных определить закон движения невозможно, так как путь, вычисленный по закону скорости $v(t)=t^2$ за первые 3 секунды, равен 9 м, а не 10 м, как указано в условии.

431. Задайте формулой функцию $f$, график которой проходит через точку $A(4; 3)$, если угловой коэффициент касательной к графику этой функции в любой точке $x$ из её области определения равен $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

431.

По условию задачи, угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в любой точке $x$ из её области определения равен $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ является значением производной этой функции в данной точке, то есть $f'(x)$.

Следовательно, мы имеем дифференциальное уравнение: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти её первообразную, то есть вычислить неопределенный интеграл от $f'(x)$:

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

Для вычисления интеграла представим подынтегральное выражение в виде степени:

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx$

Применим формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

Таким образом, мы получили общее решение — семейство функций $f(x) = 2\sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Второе условие задачи гласит, что график функции проходит через точку $A(4; 3)$. Это означает, что при $x = 4$ значение функции $f(x)$ равно $3$, то есть $f(4) = 3$.

Подставим эти значения в найденную формулу функции, чтобы определить значение константы $C$:

$f(4) = 2\sqrt{4} + C = 3$

$2 \cdot 2 + C = 3$

$4 + C = 3$

$C = 3 - 4 = -1$

Теперь, зная значение $C$, мы можем записать искомую формулу функции $f(x)$:

$f(x) = 2\sqrt{x} - 1$

Ответ: $f(x) = 2\sqrt{x} - 1$.

432. Вычислите интеграл:

1) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2};$

2) $\int_{0}^{\pi} (6 \cos 4x - 3 \sin x) dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)};$

4) $\int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 4) dx;$

5) $\int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx;$

6) $\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}};$

7) $\int_{0}^{2} (3x - 2)^3 dx;$

8) $\int_{2}^{4} e^{-x} dx;$

9) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{4x + 1}.$

1) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} $.

Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $. Используя формулу для интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, получаем: $ F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $: $ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\pi} (6\cos{4x} - 3\sin{x}) dx $.

Интегрируем по частям, используя табличные интегралы $ \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C $ и $ \int \sin x dx = -\cos x + C $: $ \int (6\cos{4x} - 3\sin{x}) dx = 6 \int \cos{4x} dx - 3 \int \sin{x} dx = 6 \cdot \frac{1}{4}\sin{4x} - 3(-\cos{x}) = \frac{3}{2}\sin{4x} + 3\cos{x} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{\pi} (6\cos{4x} - 3\sin{x}) dx = \left. \left(\frac{3}{2}\sin{4x} + 3\cos{x}\right) \right|_{0}^{\pi} $ $ = \left(\frac{3}{2}\sin(4\pi) + 3\cos(\pi)\right) - \left(\frac{3}{2}\sin(0) + 3\cos(0)\right) $ $ = \left(\frac{3}{2} \cdot 0 + 3 \cdot (-1)\right) - \left(\frac{3}{2} \cdot 0 + 3 \cdot 1\right) = -3 - 3 = -6 $.

Ответ: $ -6 $

3) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2(3x + \frac{\pi}{6})} $.

Используем табличный интеграл $ \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\cot u + C $. Сделаем замену переменной $ u = 3x + \frac{\pi}{6} $, тогда $ du = 3dx $ и $ dx = \frac{du}{3} $. Первообразная: $ \int \frac{1}{\sin^2 u} \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\frac{1}{3}\cot u = -\frac{1}{3}\cot(3x + \frac{\pi}{6}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2(3x + \frac{\pi}{6})} = \left. -\frac{1}{3}\cot(3x + \frac{\pi}{6}) \right|_{0}^{\frac{\pi}{18}} $ $ = \left(-\frac{1}{3}\cot\left(3 \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{1}{3}\cot\left(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right)\right) $ $ = -\frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{3}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) $ $ = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9} $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{3}}{9} $

4) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 4) dx $.

Находим первообразную для многочлена: $ \int (x^2 - 2x + 4) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 4x $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 4) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} - x^2 + 4x\right) \right|_{-2}^{1} $ $ = \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 4 \cdot 1\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + 4 \cdot (-2)\right) $ $ = \left(\frac{1}{3} - 1 + 4\right) - \left(-\frac{8}{3} - 4 - 8\right) = \left(\frac{1}{3} + 3\right) - \left(-\frac{8}{3} - 12\right) $ $ = \frac{10}{3} - \left(-\frac{8}{3} - \frac{36}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{44}{3}\right) = \frac{10 + 44}{3} = \frac{54}{3} = 18 $.

Ответ: $ 18 $

5) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx $.

Находим первообразную: $ \int \left(\frac{4}{x} - x\right) dx = 4\int \frac{1}{x} dx - \int x dx = 4\ln|x| - \frac{x^2}{2} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница (на отрезке $[1, 3]$ $x>0$, поэтому $|x|=x$): $ \int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} - x\right) dx = \left. \left(4\ln x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{1}^{3} $ $ = \left(4\ln 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(4\ln 1 - \frac{1^2}{2}\right) = \left(4\ln 3 - \frac{9}{2}\right) - \left(4 \cdot 0 - \frac{1}{2}\right) $ $ = 4\ln 3 - \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 4\ln 3 - \frac{8}{2} = 4\ln 3 - 4 $.

Ответ: $ 4\ln 3 - 4 $

6) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} $.

Перепишем подынтегральную функцию как $ (2x+5)^{-\frac{1}{2}} $. Сделаем замену $ u = 2x+5 $, тогда $ du=2dx $, $ dx = \frac{du}{2} $. Первообразная: $ \int u^{-\frac{1}{2}} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{u} = \sqrt{2x+5} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} = \left. \sqrt{2x+5} \right|_{-2}^{2} = \sqrt{2 \cdot 2 + 5} - \sqrt{2 \cdot (-2) + 5} $ $ = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.

Ответ: $ 2 $

7) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} (3x-2)^3 dx $.

Сделаем замену $ u = 3x-2 $, тогда $ du = 3dx $, $ dx = \frac{du}{3} $. Первообразная: $ \int u^3 \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \frac{u^4}{4} = \frac{u^4}{12} = \frac{(3x-2)^4}{12} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{0}^{2} (3x-2)^3 dx = \left. \frac{(3x-2)^4}{12} \right|_{0}^{2} = \frac{(3 \cdot 2 - 2)^4}{12} - \frac{(3 \cdot 0 - 2)^4}{12} $ $ = \frac{(6-2)^4}{12} - \frac{(-2)^4}{12} = \frac{4^4}{12} - \frac{16}{12} = \frac{256 - 16}{12} = \frac{240}{12} = 20 $.

Ответ: $ 20 $

8) Вычислим интеграл $ \int_{2}^{4} e^{-x} dx $.

Первообразная для $ e^{-x} $ равна $ -e^{-x} $, так как $ \int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{2}^{4} e^{-x} dx = \left. -e^{-x} \right|_{2}^{4} = (-e^{-4}) - (-e^{-2}) = e^{-2} - e^{-4} $. Результат можно также записать в виде $ \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^4} $.

Ответ: $ e^{-2} - e^{-4} $

9) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{5} \frac{dx}{4x+1} $.

Сделаем замену $ u = 4x+1 $, тогда $ du = 4dx $, $ dx = \frac{du}{4} $. Первообразная: $ \int \frac{1}{u} \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{4}\ln|u| = \frac{1}{4}\ln|4x+1| $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница (на отрезке $[0, 5]$ выражение $4x+1 > 0$, поэтому модуль можно опустить): $ \int_{0}^{5} \frac{dx}{4x+1} = \left. \frac{1}{4}\ln(4x+1) \right|_{0}^{5} = \frac{1}{4}\ln(4 \cdot 5 + 1) - \frac{1}{4}\ln(4 \cdot 0 + 1) $ $ = \frac{1}{4}\ln(21) - \frac{1}{4}\ln(1) = \frac{1}{4}\ln(21) - 0 = \frac{1}{4}\ln(21) $.

Ответ: $ \frac{1}{4}\ln(21) $