Номер 431, страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Интеграл и его применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 431, страница 257.

431. Задайте формулой функцию $f$, график которой проходит через точку $A(4; 3)$, если угловой коэффициент касательной к графику этой функции в любой точке $x$ из её области определения равен $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

431.

По условию задачи, угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в любой точке $x$ из её области определения равен $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ является значением производной этой функции в данной точке, то есть $f'(x)$.

Следовательно, мы имеем дифференциальное уравнение: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти её первообразную, то есть вычислить неопределенный интеграл от $f'(x)$:

$f(x) = \int f'(x) dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

Для вычисления интеграла представим подынтегральное выражение в виде степени:

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx$

Применим формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

Таким образом, мы получили общее решение — семейство функций $f(x) = 2\sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Второе условие задачи гласит, что график функции проходит через точку $A(4; 3)$. Это означает, что при $x = 4$ значение функции $f(x)$ равно $3$, то есть $f(4) = 3$.

Подставим эти значения в найденную формулу функции, чтобы определить значение константы $C$:

$f(4) = 2\sqrt{4} + C = 3$

$2 \cdot 2 + C = 3$

$4 + C = 3$

$C = 3 - 4 = -1$

Теперь, зная значение $C$, мы можем записать искомую формулу функции $f(x)$:

$f(x) = 2\sqrt{x} - 1$

Ответ: $f(x) = 2\sqrt{x} - 1$.