Номер 429, страница 257 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Интеграл и его применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 429, страница 257.

429. Для функции $f$ найдите на указанном промежутке $I$ первообразную $F$, график которой проходит через данную точку $M$:

1) $f(x) = 2x + 4, I = (-\infty; +\infty), M(2; 1);$

2) $f(x) = 4x^3 - 2x + 3, I = (-\infty; +\infty), M(1; 8);$

3) $f(x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} - 5 \sin 5x, I = (-\infty; +\infty), M(\pi; 0);$

4) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{1-2x}}, I = (-\infty; \frac{1}{2}), M(-4; 1);$

5) $f(x) = 6x^2 + e^{\frac{x}{4}}, I = (-\infty; +\infty), M(2; 4\sqrt{e});$

6) $f(x) = (5x - 3)^4, I = (-\infty; +\infty), M(1; 1);$

1)

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 2x + 4$ вычислим неопределенный интеграл: $F(x) = \int (2x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(2; 1)$, что означает $F(2) = 1$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти $C$: $1 = 2^2 + 4 \cdot 2 + C$ $1 = 4 + 8 + C$ $1 = 12 + C$ $C = 1 - 12 = -11$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 + 4x - 11$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 4x - 11$.

2)

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 4x^3 - 2x + 3$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int (4x^3 - 2x + 3) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^4 - x^2 + 3x + C$.

Так как график проходит через точку $M(1; 8)$, то $F(1) = 8$. Найдем постоянную $C$: $8 = 1^4 - 1^2 + 3 \cdot 1 + C$ $8 = 1 - 1 + 3 + C$ $8 = 3 + C$ $C = 8 - 3 = 5$.

Искомая первообразная: $F(x) = x^4 - x^2 + 3x + 5$.

Ответ: $F(x) = x^4 - x^2 + 3x + 5$.

3)

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - 5\sin 5x$: $F(x) = \int (\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - 5\sin 5x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(x/2)}{1/2} - 5 \cdot \frac{-\cos(5x)}{5} + C = \sin\frac{x}{2} + \cos 5x + C$.

График проходит через точку $M(\pi; 0)$, следовательно $F(\pi) = 0$. Подставим значения: $0 = \sin\frac{\pi}{2} + \cos(5\pi) + C$ $0 = 1 + (-1) + C$ $C = 0$.

Искомая первообразная: $F(x) = \sin\frac{x}{2} + \cos 5x$.

Ответ: $F(x) = \sin\frac{x}{2} + \cos 5x$.

4)

Найдем общий вид первообразной для $f(x) = \frac{2}{\sqrt{1-2x}} = 2(1-2x)^{-1/2}$: $F(x) = \int 2(1-2x)^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{(1-2x)^{1/2}}{-2 \cdot (1/2)} + C = -2\sqrt{1-2x} + C$.

График проходит через точку $M(-4; 1)$, поэтому $F(-4) = 1$: $1 = -2\sqrt{1-2(-4)} + C$ $1 = -2\sqrt{1+8} + C$ $1 = -2\sqrt{9} + C$ $1 = -2 \cdot 3 + C$ $1 = -6 + C$ $C = 7$.

Искомая первообразная: $F(x) = -2\sqrt{1-2x} + 7$.

Ответ: $F(x) = 7 - 2\sqrt{1-2x}$.

5)

Найдем общий вид первообразной для $f(x) = 6x^2 + e^{x/4}$: $F(x) = \int (6x^2 + e^{\frac{x}{4}}) dx = 6\frac{x^3}{3} + \frac{e^{\frac{x}{4}}}{1/4} + C = 2x^3 + 4e^{\frac{x}{4}} + C$.

График проходит через точку $M(2; 4\sqrt{e})$. Заметим, что $4\sqrt{e} = 4e^{1/2}$. Следовательно, $F(2) = 4e^{1/2}$: $4e^{1/2} = 2(2)^3 + 4e^{\frac{2}{4}} + C$ $4e^{1/2} = 16 + 4e^{1/2} + C$ $0 = 16 + C$ $C = -16$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2x^3 + 4e^{\frac{x}{4}} - 16$.

Ответ: $F(x) = 2x^3 + 4e^{\frac{x}{4}} - 16$.

6)

Найдем общий вид первообразной для $f(x) = (5x - 3)^4$: $F(x) = \int (5x - 3)^4 dx = \frac{(5x - 3)^{4+1}}{5 \cdot (4+1)} + C = \frac{(5x - 3)^5}{25} + C$.

График проходит через точку $M(1; 1)$, значит $F(1) = 1$: $1 = \frac{(5 \cdot 1 - 3)^5}{25} + C$ $1 = \frac{2^5}{25} + C$ $1 = \frac{32}{25} + C$ $C = 1 - \frac{32}{25} = \frac{25-32}{25} = -\frac{7}{25}$.

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{(5x - 3)^5}{25} - \frac{7}{25}$.

Ответ: $F(x) = \frac{(5x - 3)^5 - 7}{25}$.