Номер 434, страница 258 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Интеграл и его применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 434, страница 258.

434. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 - x^2} dx;$

2) $\int_{-1}^{1} (1 - |x|) dx.$

1) $\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 - x^2} dx$

Данный интеграл представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции $y = \sqrt{12 - x^2}$ и снизу осью абсцисс на отрезке $[-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]$.

Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{12 - x^2}$. Поскольку $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат, чтобы получить $y^2 = 12 - x^2$, что можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 12$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 12$. Таким образом, радиус окружности $R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Функция $y = \sqrt{12 - x^2}$ описывает верхнюю половину этой окружности. Пределы интегрирования от $-2\sqrt{3}$ до $2\sqrt{3}$ соответствуют отрезку от $-R$ до $R$. Следовательно, искомый интеграл равен площади полукруга с радиусом $R = 2\sqrt{3}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь полукруга равна половине площади круга:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{2} \pi (4 \cdot 3) = \frac{1}{2} \pi \cdot 12 = 6\pi$.

Ответ: $6\pi$

2) $\int_{-1}^{1} (1 - |x|) dx$

Для вычисления этого интеграла необходимо раскрыть модуль функции $|x|$. По определению модуля:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Поскольку интервал интегрирования $[-1, 1]$ включает в себя как отрицательные, так и положительные значения, мы можем разбить интеграл на два, используя свойство аддитивности:

$\int_{-1}^{1} (1 - |x|) dx = \int_{-1}^{0} (1 - |x|) dx + \int_{0}^{1} (1 - |x|) dx$

На интервале $[-1, 0]$, $|x| = -x$. На интервале $[0, 1]$, $|x| = x$. Подставим эти значения:

$\int_{-1}^{0} (1 - (-x)) dx + \int_{0}^{1} (1 - x) dx = \int_{-1}^{0} (1 + x) dx + \int_{0}^{1} (1 - x) dx$

Теперь вычислим каждый из полученных интегралов:

$\int_{-1}^{0} (1 + x) dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left(0 + \frac{0^2}{2}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^2}{2}\right) = 0 - \left(-1 + \frac{1}{2}\right) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{1} (1 - x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^2}{2}\right) - \left(0 - \frac{0^2}{2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Сложим результаты:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Также можно заметить, что подынтегральная функция $f(x) = 1 - |x|$ является четной, а промежуток интегрирования $[-1, 1]$ симметричен относительно нуля. Поэтому $\int_{-1}^{1} (1 - |x|) dx = 2 \int_{0}^{1} (1 - x) dx = 2 \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2(1 - \frac{1}{2}) = 1$.

Ответ: $1$