Номер 427, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 427, страница 256.

427. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 - 9x;$

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3;$

3) $f(x) = 6x^2 - 2x^3;$

4) $f(x) = (x^2 - 2)^2;$

5) $f(x) = 4 + x^2 - \frac{1}{4}x^4;$

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4};$

7) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2};$

8) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2}.$

1) $f(x) = x^3 - 9x$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

$f(-x) = (-x)^3 - 9(-x) = -x^3 + 9x = -(x^3 - 9x) = -f(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 0^3 - 9 \cdot 0 = 0$. Точка $(0,0)$.

С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^3 - 9x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x(x-3)(x+3) = 0$. Точки $(-3,0)$, $(0,0)$, $(3,0)$.

4. Производная, промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.

Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 9)' = 6x$.

Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $6x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Исследуем знак второй производной:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
• При $x \in (0, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз.

В точке $x = 0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $f(0)=0$.

6. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$.

Ответ: График функции — кубическая парабола. Точки пересечения с осями: $(-3,0), (0,0), (3,0)$. Точка локального максимума: $(-\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$. Точка локального минимума: $(\sqrt{3}, -6\sqrt{3})$. Точка перегиба: $(0,0)$. Функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$ и убывает на $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$.

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y = -3$. Точка $(0,-3)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow x^4 - 2x^2 - 3 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2 - 2t - 3 = 0$, корни $t_1=3, t_2=-1$. Так как $t=x^2 \ge 0$, то $x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$. Точки $(-\sqrt{3},0), (\sqrt{3},0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

Критические точки: $x=0, x=-1, x=1$.

• $x \in (-\infty, -1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (-1, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, 1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x=-1$ — точка минимума, $y_{min} = f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

$x=0$ — точка максимума, $y_{max} = f(0) = -3$.

$x=1$ — точка минимума, $y_{min} = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2 - 1)$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

• $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (1/\sqrt{3}, +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.

Точки перегиба $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. $y = f(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{1}{9}) - 2(\frac{1}{3}) - 3 = \frac{1-6-27}{9} = -\frac{32}{9}$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кривая, симметричная относительно оси OY. Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, 0), (0, -3)$. Точки минимума: $(-1, -4)$ и $(1, -4)$. Точка локального максимума: $(0, -3)$. Точки перегиба: $(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{32}{9})$.

3) $f(x) = 6x^2 - 2x^3$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = 6(-x)^2 - 2(-x)^3 = 6x^2 + 2x^3$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0,0)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow 6x^2 - 2x^3 = 0 \Rightarrow 2x^2(3-x) = 0$. Точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 12x - 6x^2 = 6x(2-x)$.

Критические точки: $x=0, x=2$.

• $x \in (-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (0, 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

$x=0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 0$.

$x=2$ — точка максимума, $y_{max} = f(2) = 6(4) - 2(8) = 24-16=8$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = 12 - 12x = 12(1-x)$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow x=1$.

• $x \in (-\infty, 1)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (1, +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

$x=1$ — точка перегиба. $y = f(1) = 6 - 2 = 4$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кубическая кривая. Точки пересечения с осями: $(0,0), (3,0)$. Точка минимума: $(0,0)$. Точка максимума: $(2,8)$. Точка перегиба: $(1,4)$.

4) $f(x) = (x^2 - 2)^2$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = ((-x)^2 - 2)^2 = (x^2 - 2)^2 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y=(-2)^2=4$. Точка $(0,4)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow (x^2-2)^2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$. Точки $(-\sqrt{2},0), (\sqrt{2},0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 2(x^2 - 2) \cdot 2x = 4x(x^2 - 2)$.

Критические точки: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (-\sqrt{2}, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, \sqrt{2})$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x = \pm\sqrt{2}$ — точки минимума, $y_{min} = f(\pm\sqrt{2}) = 0$.

$x=0$ — точка максимума, $y_{max} = f(0) = 4$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f(x) = x^4 - 4x^2 + 4$, $f'(x)=4x^3-8x$, $f''(x) = 12x^2 - 8 = 4(3x^2 - 2)$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2/3}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.

Точки перегиба $x=\pm\sqrt{2/3}$. $y = f(\pm\sqrt{2/3}) = (2/3 - 2)^2 = (-4/3)^2 = 16/9$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кривая, симметричная относительно оси OY. Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0), (0, 4)$. Точки минимума: $(-\sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$. Точка локального максимума: $(0, 4)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}, 16/9)$.

5) $f(x) = 4 + x^2 - \frac{1}{4}x^4$

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = 4 + (-x)^2 - \frac{1}{4}(-x)^4 = 4 + x^2 - \frac{1}{4}x^4 = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY: $x=0 \Rightarrow y=4$. Точка $(0,4)$.

С OX: $y=0 \Rightarrow x^4 - 4x^2 - 16 = 0$. $x^2 = 2 \pm 2\sqrt{5}$. Учитывая $x^2 \ge 0$, имеем $x^2=2+2\sqrt{5}$, $x = \pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}$. Точки $(\pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}, 0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 2x - x^3 = x(2 - x^2)$.

Критические точки: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (-\sqrt{2}, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (0, \sqrt{2})$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

$x = \pm\sqrt{2}$ — точки максимума, $y_{max} = f(\pm\sqrt{2}) = 4+2-\frac{1}{4}(4) = 5$.

$x=0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 4$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = 2 - 3x^2$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow x^2=2/3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2/3}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

Точки перегиба $x=\pm\sqrt{2/3}$. $y = f(\pm\sqrt{2/3}) = 4 + 2/3 - \frac{1}{4}(4/9) = 4 + 2/3 - 1/9 = 41/9$.

6. Асимптоты. Нет.

Ответ: График — кривая, симметричная относительно оси OY. Точки пересечения с осями: $(\pm\sqrt{2+2\sqrt{5}}, 0), (0, 4)$. Точки максимума: $(-\sqrt{2}, 5), (\sqrt{2}, 5)$. Точка локального минимума: $(0, 4)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}, 41/9)$.

6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$

1. Область определения. $x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY и OX: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0,0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2}$.

Критическая точка: $x=0$.

• $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

$x=0$ — точка максимума, $y_{max} = f(0) = 0$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = \frac{-8(x^2-4)^2 - (-8x) \cdot 2(x^2-4) \cdot 2x}{(x^2-4)^4} = \frac{-8(x^2-4) + 32x^2}{(x^2-4)^3} = \frac{24x^2 + 32}{(x^2-4)^3}$.

Числитель всегда положителен. Знак $f''(x)$ зависит от знака знаменателя.

• $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (-2, 2)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

Точек перегиба нет.

6. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2-4} = 1$. $y=1$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, состоит из трех ветвей. Точка пересечения с осями: $(0,0)$, это также точка локального максимума. Вертикальные асимптоты $x=-2, x=2$. Горизонтальная асимптота $y=1$. График выпуклый вниз на $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-2, 2)$.

7) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$

1. Область определения. $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

Пересечений с осями нет, так как $x \ne 0$ и $f(x)>0$ для всех $x$ из $D(f)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = 2x - \frac{2}{x^3} = \frac{2(x^4-1)}{x^3}$.

Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow x^4-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$.

• $x \in (-\infty, -1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (-1, 0)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
• $x \in (0, 1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x = \pm 1$ — точки минимума. $y_{min} = f(\pm 1) = 1+1=2$.

5. Вторая производная, выпуклость.

$f''(x) = 2 + \frac{6}{x^4}$.

Так как $x^4 > 0$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения. График функции всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

6. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0} (x^2 + \frac{1}{x^2}) = +\infty$.

Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Ответ: График симметричен относительно оси OY, состоит из двух ветвей, расположен в верхней полуплоскости. Точки минимума: $(-1,2)$ и $(1,2)$. Вертикальная асимптота $x=0$. График везде выпуклый вниз.

8) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2}$

1. Область определения. $x^2+2 > 0$ для всех $x$, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность. $f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2+2} = \frac{x^2}{x^2+2} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Точки пересечения с осями.

С OY и OX: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0,0)$.

4. Производная, монотонность и экстремумы.

$f'(x) = \frac{2x(x^2+2) - x^2(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{4x}{(x^2+2)^2}$.

Критическая точка: $x=0$.

• $x \in (-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
• $x \in (0, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

$x=0$ — точка минимума, $y_{min} = f(0) = 0$.

5. Вторая производная, выпуклость и точки перегиба.

$f''(x) = \frac{4(x^2+2)^2 - 4x \cdot 2(x^2+2) \cdot 2x}{(x^2+2)^4} = \frac{4(x^2+2) - 16x^2}{(x^2+2)^3} = \frac{8-12x^2}{(x^2+2)^3}$.

$f''(x) = 0 \Rightarrow 8-12x^2=0 \Rightarrow x^2 = 2/3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2/3}$.

• $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.
• $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$: $f''(x) > 0$, выпуклая вниз.
• $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$: $f''(x) < 0$, выпуклая вверх.

Точки перегиба $x=\pm\sqrt{2/3}$. $y = f(\pm\sqrt{2/3}) = \frac{2/3}{2/3+2} = \frac{2/3}{8/3} = 1/4$.

6. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2+2} = 1$. $y=1$.

Ответ: График — "шапочка", симметричная относительно оси OY. Начало координат $(0,0)$ — точка минимума. Горизонтальная асимптота $y=1$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{2/3}, 1/4)$.