Номер 424, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 424, страница 256.
№424 (с. 256)
Учебник. №424 (с. 256)
скриншот условия

424. Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
Решение 2. №424 (с. 256)
Пусть одно из неотрицательных чисел равно $x$, тогда второе число будет равно $20 - x$. Согласно условию, оба числа должны быть неотрицательными, поэтому:
$x \ge 0$
$20 - x \ge 0 \implies x \le 20$
Таким образом, значение $x$ должно находиться в пределах отрезка $[0, 20]$.
Нам нужно найти наименьшее значение суммы кубов этих чисел. Составим функцию $S(x)$, представляющую собой сумму кубов этих двух чисел:
$S(x) = x^3 + (20 - x)^3$
Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке $[0, 20]$, найдем ее производную:
$S'(x) = (x^3 + (20 - x)^3)'$
Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$S'(x) = 3x^2 + 3(20 - x)^2 \cdot (20 - x)' = 3x^2 + 3(20 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(20 - x)^2$
Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$S'(x) = 0$
$3x^2 - 3(20 - x)^2 = 0$
$x^2 - (20 - x)^2 = 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - (20 - x))(x + (20 - x)) = 0$
$(x - 20 + x)(20) = 0$
$(2x - 20) \cdot 20 = 0$
$2x - 20 = 0$
$2x = 20$
$x = 10$
Критическая точка $x = 10$ принадлежит отрезку $[0, 20]$. Чтобы определить, является ли это точкой минимума, и найти наименьшее значение функции на отрезке, вычислим значения функции $S(x)$ в этой точке и на концах отрезка:
При $x = 0$: $S(0) = 0^3 + (20 - 0)^3 = 0 + 8000 = 8000$.
При $x = 10$: $S(10) = 10^3 + (20 - 10)^3 = 10^3 + 10^3 = 1000 + 1000 = 2000$.
При $x = 20$: $S(20) = 20^3 + (20 - 20)^3 = 8000 + 0 = 8000$.
Сравнивая полученные значения, мы видим, что наименьшее значение суммы кубов равно $2000$ и достигается при $x = 10$. Если первое число $x=10$, то второе число равно $20 - 10 = 10$. Таким образом, искомые числа — это 10 и 10.
Ответ: Число 20 нужно представить в виде суммы $10 + 10$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 424 расположенного на странице 256 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №424 (с. 256), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.