Номер 424, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Производная и её применение - номер 424, страница 256.

Учебник.

424. Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Решение 2.

Пусть одно из неотрицательных чисел равно $x$, тогда второе число будет равно $20 - x$. Согласно условию, оба числа должны быть неотрицательными, поэтому:
$x \ge 0$
$20 - x \ge 0 \implies x \le 20$
Таким образом, значение $x$ должно находиться в пределах отрезка $[0, 20]$.

Нам нужно найти наименьшее значение суммы кубов этих чисел. Составим функцию $S(x)$, представляющую собой сумму кубов этих двух чисел:
$S(x) = x^3 + (20 - x)^3$

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке $[0, 20]$, найдем ее производную:
$S'(x) = (x^3 + (20 - x)^3)'$
Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$S'(x) = 3x^2 + 3(20 - x)^2 \cdot (20 - x)' = 3x^2 + 3(20 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(20 - x)^2$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$S'(x) = 0$
$3x^2 - 3(20 - x)^2 = 0$
$x^2 - (20 - x)^2 = 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - (20 - x))(x + (20 - x)) = 0$
$(x - 20 + x)(20) = 0$
$(2x - 20) \cdot 20 = 0$
$2x - 20 = 0$
$2x = 20$
$x = 10$

Критическая точка $x = 10$ принадлежит отрезку $[0, 20]$. Чтобы определить, является ли это точкой минимума, и найти наименьшее значение функции на отрезке, вычислим значения функции $S(x)$ в этой точке и на концах отрезка:
При $x = 0$: $S(0) = 0^3 + (20 - 0)^3 = 0 + 8000 = 8000$.
При $x = 10$: $S(10) = 10^3 + (20 - 10)^3 = 10^3 + 10^3 = 1000 + 1000 = 2000$.
При $x = 20$: $S(20) = 20^3 + (20 - 20)^3 = 8000 + 0 = 8000$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что наименьшее значение суммы кубов равно $2000$ и достигается при $x = 10$. Если первое число $x=10$, то второе число равно $20 - 10 = 10$. Таким образом, искомые числа — это 10 и 10.

Ответ: Число 20 нужно представить в виде суммы $10 + 10$.