Номер 417, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 417, страница 255.

Рис. 17

Рис. 18

$2x - y + 3 = 0$

$y = f (x)$

417. На рисунке 18 изображён график функции $y = f (x)$. Расположите в порядке возрастания числа $f'(-2)$, $f'(1)$ и $f'(2)$.

Для того чтобы расположить числа $f'(-2)$, $f'(1)$ и $f'(2)$ в порядке возрастания, воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Знак производной в точке зависит от того, возрастает или убывает функция в этой точке.

• Если функция возрастает (график идет вверх), то ее производная положительна.
• Если функция убывает (график идет вниз), то ее производная отрицательна.
• В точках экстремума (минимума или максимума) касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю.

Проанализируем поведение функции в каждой из заданных точек по графику, представленному на рисунке 18:

В точке $x = -2$ функция $f(x)$ возрастает, так как ее график идет вверх. Следовательно, касательная к графику в этой точке имеет положительный угловой коэффициент, а значит, производная в этой точке положительна: $f'(-2) > 0$.

В точке $x = 1$ функция $f(x)$ убывает, так как ее график идет вниз. Следовательно, касательная к графику в этой точке имеет отрицательный угловой коэффициент, а значит, производная в этой точке отрицательна: $f'(1) < 0$.

В точке $x = 2$ на графике виден локальный минимум функции. В точке минимума касательная к графику горизонтальна (параллельна оси абсцисс), ее угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, производная в этой точке равна нулю: $f'(2) = 0$.

Теперь, зная знаки производных, мы можем их сравнить. Отрицательное число $f'(1)$ является наименьшим. Затем следует ноль, $f'(2)$. Самым большим является положительное число $f'(-2)$. Таким образом, получаем следующее соотношение: $f'(1) < f'(2) < f'(-2)$.

Расположив числа в порядке возрастания, получаем последовательность: $f'(1), f'(2), f'(-2)$.

Ответ: $f'(1), f'(2), f'(-2)$.