Номер 414, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 414, страница 254.

414. Найдите координаты точки параболы $y = x^2 - 3x + 2$, касательная к которой параллельна прямой $y = 6 - x$.

Для того чтобы касательная к параболе была параллельна данной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в точке $x_0$.

1. Найдем угловой коэффициент прямой $y = 6 - x$. Уравнение прямой в общем виде выглядит как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. В нашем случае $y = -1 \cdot x + 6$, следовательно, угловой коэффициент прямой $k = -1$.

2. Найдем производную функции параболы $y = x^2 - 3x + 2$.
$y'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

3. Приравняем значение производной в точке касания $x_0$ к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу этой точки:
$y'(x_0) = k$
$2x_0 - 3 = -1$
$2x_0 = -1 + 3$
$2x_0 = 2$
$x_0 = 1$.

4. Теперь, зная абсциссу точки касания, найдем ее ординату $y_0$, подставив значение $x_0 = 1$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Таким образом, координаты искомой точки на параболе равны $(1, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$.