Номер 413, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Производная и её применение - номер 413, страница 254.

Учебник.

413. Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции $f(x) = \frac{x+4}{x-5}$, угловой коэффициент которых равен -1.

Решение 2.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. По условию задачи, угловой коэффициент касательных равен $-1$.

1. Найдем производную функции.
Дана функция $f(x) = \frac{x+4}{x-5}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
$f'(x) = \left(\frac{x+4}{x-5}\right)' = \frac{(x+4)'(x-5) - (x+4)(x-5)'}{(x-5)^2} = \frac{1 \cdot (x-5) - (x+4) \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{x-5-x-4}{(x-5)^2} = \frac{-9}{(x-5)^2}$.

2. Найдем абсциссы точек касания.
Приравняем значение производной к заданному угловому коэффициенту $k=-1$, чтобы найти абсциссы $x_0$ точек касания.
$f'(x_0) = -1$
$\frac{-9}{(x_0-5)^2} = -1$
Умножим обе части на $-1$:
$\frac{9}{(x_0-5)^2} = 1$
$(x_0-5)^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
$x_0-5 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 8$
$x_0-5 = -3 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2$
Таким образом, существуют две касательные с заданным угловым коэффициентом.

3. Составим уравнения касательных.
Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$, где $y_0 = f(x_0)$.

Для первой касательной (при $x_1 = 8$):
Найдем ординату точки касания: $y_1 = f(8) = \frac{8+4}{8-5} = \frac{12}{3} = 4$.
Точка касания: $(8, 4)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
Уравнение касательной:
$y - 4 = -1(x - 8)$
$y - 4 = -x + 8$
$y = -x + 12$

Для второй касательной (при $x_2 = 2$):
Найдем ординату точки касания: $y_2 = f(2) = \frac{2+4}{2-5} = \frac{6}{-3} = -2$.
Точка касания: $(2, -2)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
Уравнение касательной:
$y - (-2) = -1(x - 2)$
$y + 2 = -x + 2$
$y = -x$

4. Найдем координаты точек пересечения касательных с осями координат.

Для касательной $y = -x + 12$:
- Пересечение с осью ординат (OY): подставляем $x = 0$.
$y = -0 + 12 = 12$. Координаты точки: $(0, 12)$.
- Пересечение с осью абсцисс (OX): подставляем $y = 0$.
$0 = -x + 12 \Rightarrow x = 12$. Координаты точки: $(12, 0)$.

Для касательной $y = -x$:
- Пересечение с осью ординат (OY): подставляем $x = 0$.
$y = -0 = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$.
- Пересечение с осью абсцисс (OX): подставляем $y = 0$.
$0 = -x \Rightarrow x = 0$. Координаты точки: $(0, 0)$.
Эта касательная проходит через начало координат.

Ответ: Координаты точек пересечения касательных с осями координат: $(12, 0)$, $(0, 12)$, $(0, 0)$.