Номер 419, страница 255 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 419, страница 255.

419. Функция $y = f(x)$ определена на промежутке $[-8; 3]$ и имеет производную в каждой точке области определения. На рисунке 20 изображён график её производной $y = f'(x)$. Укажите:

1) промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$; 2) точки минимума и точки максимума функции $y = f(x)$.

Рис. 19

Рис. 20

Для решения задачи проанализируем график производной $y = f'(x)$, представленный на рисунке 20, на заданном промежутке $[-8; 3]$.

1) промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$;

Функция $y = f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) \ge 0$, и убывает там, где $f'(x) \le 0$.

По графику $y = f'(x)$ находим:

Производная $f'(x) \ge 0$ (график находится на оси абсцисс или выше неё) на промежутках $[-5; -3]$ и $[2; 3]$. Следовательно, это промежутки возрастания функции $f(x)$.

Производная $f'(x) \le 0$ (график находится на оси абсцисс или ниже неё) на промежутках $[-8; -5]$ и $[-3; 2]$. Следовательно, это промежутки убывания функции $f(x)$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-5; -3]$ и $[2; 3]$; промежутки убывания: $[-8; -5]$ и $[-3; 2]$.

2) точки минимума и точки максимума функции $y = f(x)$.

Точки экстремума (минимума и максимума) — это точки из области определения, в которых производная функции равна нулю и меняет свой знак.

Из графика видно, что производная $f'(x)$ обращается в ноль в точках $x = -5$, $x = -3$ и $x = 2$.

В точке $x = -5$ производная $f'(x)$ меняет знак с «-» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = -5$ — точка минимума.

В точке $x = -3$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «-» (функция переходит от возрастания к убыванию). Следовательно, $x = -3$ — точка максимума.

В точке $x = 2$ производная $f'(x)$ меняет знак с «-» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = 2$ — точка минимума.

Ответ: точки минимума: $x = -5, x = 2$; точка максимума: $x = -3$.