Номер 412, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Производная и её применение - номер 412, страница 254.

Учебник.

412. К графику функции $f(x) = 5 + 7x - 4x^2$ проведена касательная, угловой коэффициент которой равен $-9$. Найдите координаты точки касания.

Решение 2.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке касания равен значению производной этой функции в той же точке. Пусть искомая точка касания имеет координаты $(x_0, y_0)$. Тогда угловой коэффициент касательной $k$ в этой точке равен $f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = 5 + 7x - 4x^2$ и угловой коэффициент касательной $k = -9$.

1. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x)$, используя правила дифференцирования:$f'(x) = (5 + 7x - 4x^2)' = (5)' + (7x)' - (4x^2)' = 0 + 7 - 4 \cdot 2x = 7 - 8x$.

2. Нахождение абсциссы точки касания

Приравняем значение производной в точке касания $x_0$ к заданному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания:$f'(x_0) = k$$7 - 8x_0 = -9$

Решим полученное уравнение относительно $x_0$:$-8x_0 = -9 - 7$$-8x_0 = -16$$x_0 = \frac{-16}{-8} = 2$.

3. Нахождение ординаты точки касания

Точка касания принадлежит графику функции, поэтому для нахождения её ординаты $y_0$ необходимо подставить найденную абсциссу $x_0 = 2$ в исходное уравнение функции:$y_0 = f(2) = 5 + 7(2) - 4(2)^2$$y_0 = 5 + 14 - 4 \cdot 4$$y_0 = 19 - 16$$y_0 = 3$.

Таким образом, искомые координаты точки касания — $(2, 3)$.

Ответ: $(2, 3)$.