Номер 415, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 415, страница 254.

415. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x$, которая параллельна прямой $y=5x-8$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию задачи, искомая касательная параллельна прямой $y = 5x - 8$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 5x - 8$ равен $k = 5$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$. Следовательно, для нахождения абсциссы точки касания $x_0$ необходимо решить уравнение $f'(x_0) = 5$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^4 - 4x^3 + 5x$:
$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 5x)' = 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 5 = 4x^3 - 12x^2 + 5$.

Теперь решим уравнение $f'(x_0) = 5$:
$4x_0^3 - 12x_0^2 + 5 = 5$
$4x_0^3 - 12x_0^2 = 0$
Вынесем общий множитель $4x_0^2$ за скобки:
$4x_0^2(x_0 - 3) = 0$
Данное уравнение имеет два корня: $x_0 = 0$ и $x_0 = 3$.

Это означает, что существуют две касательные к графику функции $f(x)$, которые параллельны прямой $y = 5x - 8$. Найдем уравнение для каждой из них.

1. Касательная в точке $x_0 = 0$
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 0$ в исходную функцию:
$f(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0 = 0$.
Точка касания имеет координаты $(0, 0)$.
Угловой коэффициент касательной $k = f'(0) = 5$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 0 + 5(x - 0)$
$y = 5x$

2. Касательная в точке $x_0 = 3$
Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 3$ в исходную функцию:
$f(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3 = 81 - 4 \cdot 27 + 15 = 81 - 108 + 15 = -12$.
Точка касания имеет координаты $(3, -12)$.
Угловой коэффициент касательной $k = f'(3) = 5$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$
$y = -12 + 5(x - 3)$
$y = -12 + 5x - 15$
$y = 5x - 27$

Ответ: $y=5x$ и $y=5x-27$.