Номер 411, страница 254 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Производная и её применение. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 411, страница 254.

411. Прямые $a$ и $b$, изображённые на рисунке 17, параллельны, причём прямая $a$ является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, а уравнение прямой $b$ имеет вид $2x - y + 3 = 0$. Найдите $f'(x_0)$.

Согласно геометрическому смыслу производной, значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке.

По условию задачи, прямая $a$ является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Это означает, что угловой коэффициент прямой $a$, обозначим его $k_a$, равен значению производной в этой точке: $k_a = f'(x_0)$.

Также известно, что прямые $a$ и $b$ параллельны. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Если $k_b$ — угловой коэффициент прямой $b$, то из условия $a \parallel b$ следует, что $k_a = k_b$.

Объединяя эти факты, мы получаем равенство: $f'(x_0) = k_a = k_b$. Таким образом, задача сводится к нахождению углового коэффициента прямой $b$.

Уравнение прямой $b$ дано в общем виде: $2x - y + 3 = 0$. Чтобы найти её угловой коэффициент, приведем это уравнение к виду $y = kx + c$, где коэффициент $k$ и есть искомый угловой коэффициент.

Выразим $y$ из уравнения:

$2x - y + 3 = 0$

$y = 2x + 3$

Из полученного уравнения видно, что угловой коэффициент прямой $b$ равен $k_b = 2$.

Следовательно, искомое значение производной также равно 2: $f'(x_0) = 2$.

Ответ: 2