Номер 405, страница 253 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Производная и её применение - номер 405, страница 253.

Учебник.

405. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \frac{3x^2}{1-x}$, $x_0 = -1$;

2) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x}$, $x_0 = 2$;

3) $f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 - \sin x}$, $x_0 = 0$;

4) $f(x) = \cos 2x - \sin \frac{\pi}{3}$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

5) $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$;

6) $f(x) = e^{2x - 1}$, $x_0 = \frac{1}{2}$;

Решение 2.

1) $f(x) = \frac{3x^2}{1-x}, x_0 = -1$

Для нахождения производной функции, представленной в виде частного, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3x^2$ и $v(x) = 1-x$. Тогда их производные равны:

$u'(x) = (3x^2)' = 6x$

$v'(x) = (1-x)' = -1$

Подставим эти выражения в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(6x)(1-x) - (3x^2)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{6x - 6x^2 + 3x^2}{(1-x)^2} = \frac{6x - 3x^2}{(1-x)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = \frac{6(-1) - 3(-1)^2}{(1 - (-1))^2} = \frac{-6 - 3}{2^2} = \frac{-9}{4}$.

Ответ: $-\frac{9}{4}$.

2) $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x}, x_0 = 2$

Данная функция является сложной. Для нахождения её производной применим цепное правило (правило дифференцирования сложной функции): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, и её производная $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Внутренняя функция $h(x) = 5x^2 - 2x$, и её производная $h'(x) = 10x - 2$.

Тогда производная исходной функции равна:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} \cdot (10x - 2) = \frac{2(5x - 1)}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} = \frac{5x - 1}{\sqrt{5x^2 - 2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{5(2) - 1}{\sqrt{5(2)^2 - 2(2)}} = \frac{10 - 1}{\sqrt{5 \cdot 4 - 4}} = \frac{9}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$.

Ответ: $\frac{9}{4}$.

3) $f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 - \sin x}, x_0 = 0$

Снова используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 1 + \sin x$ и $v(x) = 4 - \sin x$.

Находим производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (1 + \sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (4 - \sin x)' = -\cos x$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(\cos x)(4 - \sin x) - (1 + \sin x)(-\cos x)}{(4 - \sin x)^2} = \frac{4\cos x - \sin x \cos x + \cos x + \sin x \cos x}{(4 - \sin x)^2} = \frac{5\cos x}{(4 - \sin x)^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 0$. Учитывая, что $\sin(0) = 0$ и $\cos(0) = 1$:

$f'(0) = \frac{5\cos(0)}{(4 - \sin(0))^2} = \frac{5 \cdot 1}{(4 - 0)^2} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

4) $f(x) = \cos 2x - \sin \frac{\pi}{3}, x_0 = \frac{\pi}{2}$

В данной функции слагаемое $\sin \frac{\pi}{3}$ является константой, так как не зависит от $x$. Производная константы равна нулю.

Найдём производную от $\cos 2x$, используя цепное правило. Производная от $\cos u$ равна $-\sin u$, а производная от $2x$ равна $2$.

$f'(x) = (\cos 2x)' - (\sin \frac{\pi}{3})' = (-\sin(2x)) \cdot (2x)' - 0 = -2\sin(2x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = -2\sin(\pi)$.

Так как $\sin(\pi) = 0$, то:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$.

5) $f(x) = \frac{\ln x}{x}, x_0 = 1$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ для $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x$.

Производные этих функций:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (x)' = 1$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$. Учитывая, что $\ln(1) = 0$:

$f'(1) = \frac{1 - \ln(1)}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

6) $f(x) = e^{2x-1}, x_0 = \frac{1}{2}$

Это сложная функция, для которой применяем цепное правило. Внешняя функция $g(u) = e^u$ (производная $g'(u)=e^u$), внутренняя функция $h(x) = 2x-1$ (производная $h'(x)=2$).

Производная исходной функции:

$f'(x) = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = e^{2x-1} \cdot 2 = 2e^{2x-1}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:

$f'(\frac{1}{2}) = 2e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = 2e^{1 - 1} = 2e^0$.

Так как любое число в степени 0 равно 1 ($e^0 = 1$), получаем:

$f'(\frac{1}{2}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$.