Номер 400, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 400, страница 252.

400. Решите неравенство:

1) $ \log_2 x + \log_2 (x + 1) \le 1; $

2) $ \log_{\frac{1}{6}} x + \log_{\frac{1}{6}} (x - 1) \ge \log_{\frac{1}{6}} (x + 3); $

3) $ \log_3 (4 - x) + \log_3 (x + 3) \le 1 + \log_3 (x - 1); $

4) $ \log_{\frac{1}{2}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3 - 1. $

1) $\log_2 x + \log_2 (x + 1) \le 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \end{cases} \implies x > 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2 (x(x+1)) \le 1$

Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2 (x^2 + x) \le \log_2 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 + x \le 2$

$x^2 + x - 2 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + x - 2$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 + x - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-2; 1]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ -2 \le x \le 1 \end{cases} \implies 0 < x \le 1$

Ответ: $(0; 1]$.

2) $\log_{\frac{1}{6}} x + \log_{\frac{1}{6}} (x - 1) \ge \log_{\frac{1}{6}} (x + 3)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > 1$

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{6}} (x(x-1)) \ge \log_{\frac{1}{6}} (x + 3)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x(x-1) \le x + 3$

$x^2 - x \le x + 3$

$x^2 - 2x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$ выполняется на отрезке $x \in [-1; 3]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 1 \\ -1 \le x \le 3 \end{cases} \implies 1 < x \le 3$

Ответ: $(1; 3]$.

3) $\log_3 (4 - x) + \log_3 (x + 3) \le 1 + \log_3 (x - 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x + 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x > -3 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 4$

ОДЗ: $x \in (1; 4)$.

Перенесем логарифм из правой части в левую и преобразуем неравенство:

$\log_3 (4 - x) + \log_3 (x + 3) - \log_3 (x - 1) \le 1$

Используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$, получаем:

$\log_3 \frac{(4 - x)(x + 3)}{x - 1} \le 1$

Представим 1 как $\log_3 3$:

$\log_3 \frac{(4 - x)(x + 3)}{x - 1} \le \log_3 3$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{(4 - x)(x + 3)}{x - 1} \le 3$

$\frac{-x^2 + x + 12}{x - 1} - 3 \le 0$

$\frac{-x^2 + x + 12 - 3(x - 1)}{x - 1} \le 0$

$\frac{-x^2 + x + 12 - 3x + 3}{x - 1} \le 0$

$\frac{-x^2 - 2x + 15}{x - 1} \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 + 2x - 15}{x - 1} \ge 0$

$\frac{(x + 5)(x - 3)}{x - 1} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -5, x = 3$. Ноль знаменателя: $x = 1$.

На числовой прямой отмечаем точки -5, 1, 3. Точки -5 и 3 закрашенные, точка 1 выколотая.

Интервалы, где выражение неотрицательно: $[-5; 1) \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (1; 4)$:

Пересечением множеств $[-5; 1) \cup [3; +\infty)$ и $(1; 4)$ является интервал $[3; 4)$.

Ответ: $[3; 4)$.

4) $\log_{\frac{1}{2}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{2}} (x + 3) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3 - 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > -2$

ОДЗ: $x \in (-2; +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{\frac{1}{2}} 2$

Используем свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}} ((x+2)(x+3)) \ge \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 2$

$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 5x + 6) \ge \log_{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2)$

$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 5x + 6) \ge \log_{\frac{1}{2}} 6$

Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, функция убывающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 5x + 6 \le 6$

$x^2 + 5x \le 0$

$x(x + 5) \le 0$

Корни уравнения $x(x+5)=0$ равны $x=0$ и $x=-5$. Парабола $y = x^2 + 5x$ ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-5; 0]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > -2 \\ -5 \le x \le 0 \end{cases} \implies -2 < x \le 0$

Ответ: $(-2; 0]$.