Номер 396, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 396, страница 252.

396. Решите уравнение:

1) $ \lg (5x + 2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2 $

2) $ \log_5 (250 - x^3) = 3\log_5 x $

3) $ \log_9 (4x - 6) = \log_9 (2x - 4) $

4) $ \frac{1}{2} \lg (3x^2 + 25) = \lg (3x - 5) $

5) $ \lg (2x + 1) = 0,5 \lg (1 - 3x) $

6) $ \log_6 (x^2 - x - 2) = \log_6 (2x^2 + x - 1) $

7) $ 2\log_7 (-x) = \log_7 (x + 6) $

8) $ \ln (x^2 - 2x - 8) = 2\ln \sqrt{-4x} $

1) $lg(5x + 2) = \frac{1}{2}lg 36 + lg 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$5x + 2 > 0$
$5x > -2$
$x > -\frac{2}{5}$

Упростим правую часть уравнения, используя свойства логарифмов $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\frac{1}{2}lg 36 + lg 2 = lg(36^{\frac{1}{2}}) + lg 2 = lg(\sqrt{36}) + lg 2 = lg 6 + lg 2 = lg(6 \cdot 2) = lg 12$.

Теперь уравнение имеет вид:
$lg(5x + 2) = lg 12$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$5x + 2 = 12$
$5x = 10$
$x = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > -2/5$). $2 > -2/5$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $2$.

2) $log_5 (250 - x^3) = 3log_5 x$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
1) $250 - x^3 > 0 \Rightarrow x^3 < 250 \Rightarrow x < \sqrt[3]{250}$
2) $x > 0$
Общая ОДЗ: $0 < x < \sqrt[3]{250}$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$3log_5 x = log_5(x^3)$.

Уравнение принимает вид:
$log_5(250 - x^3) = log_5(x^3)$.

Приравниваем аргументы:
$250 - x^3 = x^3$
$250 = 2x^3$
$x^3 = 125$
$x = 5$.

Проверим корень по ОДЗ ($0 < x < \sqrt[3]{250}$). Так как $5^3=125$ и $125 < 250$, то $5 < \sqrt[3]{250}$. Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

3) $log_9 (4x - 6) = log_9 (2x - 4)$

Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} 4x - 6 > 0 \\ 2x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x > 6 \\ 2x > 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1.5 \\ x > 2 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x > 2$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$4x - 6 = 2x - 4$
$4x - 2x = 6 - 4$
$2x = 2$
$x = 1$.

Проверим корень по ОДЗ ($x > 2$). $1$ не больше $2$, следовательно, корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Ответ: нет корней.

4) $\frac{1}{2}lg (3x^2 + 25) = lg (3x - 5)$

Найдем ОДЗ:
1) $3x^2 + 25 > 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $3x^2+25$ всегда положительно.
2) $3x - 5 > 0 \Rightarrow 3x > 5 \Rightarrow x > 5/3$.
ОДЗ: $x > 5/3$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$lg((3x^2 + 25)^{\frac{1}{2}}) = lg(3x - 5)$
$lg(\sqrt{3x^2 + 25}) = lg(3x - 5)$.

Приравниваем аргументы:
$\sqrt{3x^2 + 25} = 3x - 5$.

Возведем обе части в квадрат (при условии $3x-5 \ge 0$, что уже учтено в ОДЗ):
$3x^2 + 25 = (3x - 5)^2$
$3x^2 + 25 = 9x^2 - 30x + 25$
$6x^2 - 30x = 0$
$6x(x - 5) = 0$.
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 5/3$):
$x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \ngtr 5/3$.
$x_2=5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 5/3$.

Ответ: $5$.

5) $lg (2x + 1) = 0,5lg (1 - 3x)$

Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ 1 - 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > -1 \\ 1 > 3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1/2 \\ x < 1/3 \end{cases}$.
ОДЗ: $-1/2 < x < 1/3$.

Преобразуем уравнение:
$lg(2x+1) = \frac{1}{2}lg(1-3x)$
$lg(2x+1) = lg((1-3x)^{\frac{1}{2}})$
$lg(2x+1) = lg(\sqrt{1-3x})$.

Приравниваем аргументы:
$2x+1 = \sqrt{1-3x}$.

Возводим в квадрат (при условии $2x+1 \ge 0$, что выполняется в ОДЗ):
$(2x+1)^2 = 1-3x$
$4x^2 + 4x + 1 = 1 - 3x$
$4x^2 + 7x = 0$
$x(4x + 7) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -7/4$.

Проверяем корни по ОДЗ ($-1/2 < x < 1/3$):
$x_1=0$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1/2 < 0 < 1/3$.
$x_2=-7/4 = -1.75$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1.75 \ngtr -0.5$.

Ответ: $0$.

6) $log_6 (x^2 - x - 2) = log_6 (2x^2 + x - 1)$

Найдем ОДЗ:
1) $x^2 - x - 2 > 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ это $x=-1$ и $x=2$. Неравенство верно при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.
2) $2x^2 + x - 1 > 0$. Корни уравнения $2x^2 + x - 1 = 0$ это $x=-1$ и $x=1/2$. Неравенство верно при $x \in (-\infty, -1) \cup (1/2, \infty)$.
Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^2 - x - 2 = 2x^2 + x - 1$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
$x = -1$.

Проверяем корень по ОДЗ. $x=-1$ не входит в область $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$, так как неравенства строгие.

Ответ: нет корней.

7) $2log_7 (-x) = log_7 (x + 6)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -x > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x > -6 \end{cases}$.
ОДЗ: $-6 < x < 0$.

Преобразуем левую часть уравнения:
$log_7 ((-x)^2) = log_7(x+6)$
$log_7 (x^2) = log_7(x+6)$.

Приравниваем аргументы:
$x^2 = x + 6$
$x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($-6 < x < 0$):
$x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2=-2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-6 < -2 < 0$.

Ответ: $-2$.

8) $ln (x^2 - 2x - 8) = 2ln \sqrt{-4x}$

Найдем ОДЗ:
1) $x^2 - 2x - 8 > 0$. Корни $x^2-2x-8=0$ это $x=-2$ и $x=4$. Неравенство верно при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
2) Аргумент логарифма $\sqrt{-4x}$ должен быть строго положительным. $\sqrt{-4x} > 0 \Rightarrow -4x > 0 \Rightarrow x < 0$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x < -2$.

Преобразуем правую часть:
$2ln \sqrt{-4x} = ln ((\sqrt{-4x})^2) = ln(-4x)$.

Уравнение принимает вид:
$ln(x^2 - 2x - 8) = ln(-4x)$.

Приравниваем аргументы:
$x^2 - 2x - 8 = -4x$
$x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x < -2$):
$x_1=-4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -2$.
$x_2=2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-4$.