Номер 391, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства - номер 391, страница 251.

Учебник.

391. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $log_a 7 < log_a 6$;

2) $log_a 5 > 0$.

Решение 2.

1)
Дано неравенство $\log_a 7 < \log_a 6$.
Чтобы сравнить основание логарифма $a$ с единицей, необходимо вспомнить свойства логарифмической функции $y = \log_a x$. Основание логарифма по определению должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$.
Существует два случая для поведения логарифмической функции:
- Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$.
- Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1 > x_2$ выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$.
В нашем случае мы сравниваем $\log_a 7$ и $\log_a 6$. Аргументы логарифмов равны $7$ и $6$, при этом $7 > 6$.
По условию задачи $\log_a 7 < \log_a 6$.
Мы видим, что большему значению аргумента ($7$) соответствует меньшее значение логарифма. Это характерно для убывающей логарифмической функции.
Функция является убывающей, когда ее основание находится в интервале $0 < a < 1$.
Следовательно, основание $a$ меньше единицы.
Ответ: $a < 1$.

2)
Дано неравенство $\log_a 5 > 0$.
Мы знаем, что для любого допустимого основания $a$ ($a > 0, a \neq 1$) верно, что $\log_a 1 = 0$.
Таким образом, мы можем переписать исходное неравенство, заменив $0$ на $\log_a 1$:
$\log_a 5 > \log_a 1$.
Теперь сравним это неравенство с неравенством для аргументов. Аргументы равны $5$ и $1$, и очевидно, что $5 > 1$.
Мы видим, что знак неравенства для логарифмов ($>$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($>$). Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Такое свойство характерно для возрастающей логарифмической функции.
Логарифмическая функция является возрастающей, когда ее основание $a > 1$.
Следовательно, основание $a$ больше единицы.
Ответ: $a > 1$.