Номер 387, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 387, страница 250.

387. На одном из рисунков 15, а−г изображён график функции $y = -\log_3 x$. Укажите этот рисунок.

Рис. 15

а

б

в

г

Чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = -\log_3 x$, проанализируем её основные свойства и сравним их с представленными изображениями.

1. Область определения функции.
Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Для функции $y = -\log_3 x$ это означает, что $x > 0$. Следовательно, график функции должен быть расположен полностью справа от оси ординат ($Oy$). Этому условию не удовлетворяют графики в и г, так как они находятся в области $x < 0$. Таким образом, искомый график находится среди рисунков а и б.

2. Монотонность функции.
Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \log_3 x$. Так как основание логарифма $3 > 1$, эта функция является возрастающей. Наша функция $y = -y_1 = -\log_3 x$ получается из $y_1$ умножением на $-1$. Такое преобразование соответствует симметричному отражению графика относительно оси абсцисс ($Ox$). При отражении относительно оси $Ox$ возрастающая функция становится убывающей.
Среди оставшихся графиков (а и б) график а изображает возрастающую функцию, а график б — убывающую. Следовательно, правильным является график б.

3. Проверка по контрольным точкам.
Для дополнительной уверенности найдем значения функции в нескольких точках:

• При $x = 1$, $y = -\log_3 1 = -0 = 0$. График должен проходить через точку $(1; 0)$.
• При $x = 3$, $y = -\log_3 3 = -1$. График должен проходить через точку $(3; -1)$.

Оба графика, а и б, проходят через точку $(1; 0)$. Теперь проверим точку $(3; -1)$. На рисунке б мы видим, что при $x=3$ значение $y$ равно $-1$. На рисунке а при $x=3$ значение $y$ равно $1$, что соответствует функции $y = \log_3 x$.

4. Асимптота.
При $x$, стремящемся к $0$ справа ($x \to 0^+$), $\log_3 x \to -\infty$. Тогда $y = -\log_3 x \to -(-\infty) = +\infty$. Это означает, что при приближении к оси $Oy$ график уходит вверх в бесконечность. Такое поведение наблюдается именно на графике б.

Таким образом, всесторонний анализ показывает, что график функции $y = -\log_3 x$ изображен на рисунке б.

Ответ: б.