Номер 380, страница 249 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 380, страница 249.

380. Решите уравнение:

1) $4^x - 14 \cdot 2^x - 32 = 0;$

2) $9^x + 3^x - 6 = 0;$

3) $49^x + 2 \cdot 7^x - 35 = 0;$

4) $\frac{16 - 3^{2x}}{3^x + 4} = 1;$

5) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0;$

6) $9 - 2^x = 2^{3-x};$

7) $2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} = 7;$

8) $(0,2)^{2x-2} - 126 \cdot (0,2)^x + 5 = 0;$

9) $3^{1 + \sqrt{x+1}} = 28 - 3^{2 - \sqrt{x+1}};$

10) $\frac{5}{3^{x-1}} - \frac{2}{3^x - 1} = 4.$

1) $4^x - 14 \cdot 2^x - 32 = 0$
Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 14t - 32 = 0$.
Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324 = 18^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
Теперь вернемся к замене. Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим корень $t_2 = 16$.
$2^x = 16$.
Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.
$2^x = 2^4$.
Отсюда $x = 4$.
Ответ: $4$.

2) $9^x + 3^x - 6 = 0$
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 + t - 6 = 0$.
Решим квадратное уравнение по теореме Виета: произведение корней равно -6, а сумма равна -1. Корни: $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.
Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
$3^x = 2$.
Логарифмируя обе части по основанию 3, получаем:
$x = \log_3 2$.
Ответ: $\log_3 2$.

3) $49^x + 2 \cdot 7^x - 35 = 0$
Представим $49^x$ как $(7^2)^x = (7^x)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 35 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -35, сумма равна -2. Корни: $t_1 = -7$ и $t_2 = 5$.
Корень $t_1 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_2 = 5$.
Выполним обратную замену:
$7^x = 5$.
Логарифмируя обе части по основанию 7, получаем:
$x = \log_7 5$.
Ответ: $\log_7 5$.

4) $\frac{16 - 3^{2x}}{3^x + 4} = 1$
Область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю. $3^x + 4 \neq 0$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $3^x + 4 > 4$, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.
Умножим обе части уравнения на $(3^x + 4)$:
$16 - 3^{2x} = 3^x + 4$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$3^{2x} + 3^x + 4 - 16 = 0$
$(3^x)^2 + 3^x - 12 = 0$.
Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 12 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней -12, сумма -1. Корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 3$.
Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_2 = 3$.
Обратная замена:
$3^x = 3$.
$3^x = 3^1$.
$x = 1$.
Ответ: $1$.

5) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0$
Область допустимых значений: $x \neq 0$.
Преобразуем степени:
$8^{\frac{2}{x}} = (2^3)^{\frac{2}{x}} = 2^{\frac{6}{x}} = (2^{\frac{3}{x}})^2$.
$2^{\frac{3x+3}{x}} = 2^{3 + \frac{3}{x}} = 2^3 \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 8 \cdot 2^{\frac{3}{x}}$.
Уравнение принимает вид:
$(2^{\frac{3}{x}})^2 - 8 \cdot 2^{\frac{3}{x}} + 12 = 0$.
Сделаем замену $t = 2^{\frac{3}{x}}$, где $t > 0$.
$t^2 - 8t + 12 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней 12, сумма 8. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$.
Оба корня положительны, поэтому рассматриваем оба случая.
1) $t_1 = 2$:
$2^{\frac{3}{x}} = 2^1$.
$\frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$.
2) $t_2 = 6$:
$2^{\frac{3}{x}} = 6$.
$\frac{3}{x} = \log_2 6$.
$x = \frac{3}{\log_2 6}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $3; \frac{3}{\log_2 6}$.

6) $9 - 2^x = 2^{3-x}$
Преобразуем правую часть: $2^{3-x} = 2^3 \cdot 2^{-x} = \frac{8}{2^x}$.
Уравнение примет вид:
$9 - 2^x = \frac{8}{2^x}$.
Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
$9 - t = \frac{8}{t}$.
Умножим на $t$:
$9t - t^2 = 8$.
$t^2 - 9t + 8 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней 8, сумма 9. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.
Оба корня положительны.
1) $t_1 = 1$: $2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.
2) $t_2 = 8$: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.
Ответ: $0; 3$.

7) $2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{\cos^2 x} = 7$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$2^{\sin^2 x} + 5 \cdot 2^{1-\sin^2 x} = 7$.
$2^{\sin^2 x} + 5 \cdot \frac{2^1}{2^{\sin^2 x}} = 7$.
Сделаем замену $t = 2^{\sin^2 x}$. Так как $0 \le \sin^2 x \le 1$, то $2^0 \le 2^{\sin^2 x} \le 2^1$, то есть $1 \le t \le 2$.
Уравнение примет вид:
$t + \frac{10}{t} = 7$.
$t^2 - 7t + 10 = 0$.
По теореме Виета: произведение корней 10, сумма 7. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.
Корень $t_2 = 5$ не удовлетворяет условию $1 \le t \le 2$.
Рассмотрим корень $t_1 = 2$.
Обратная замена: $2^{\sin^2 x} = 2$.
$\sin^2 x = 1$.
$\sin x = \pm 1$.
Это соответствует точкам на единичной окружности $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8) $(0.2)^{2x-2} - 126 \cdot (0.2)^x + 5 = 0$
Преобразуем первый член: $(0.2)^{2x-2} = (0.2)^{2x} \cdot (0.2)^{-2} = ((0.2)^x)^2 \cdot (\frac{1}{5})^{-2} = 25 \cdot ((0.2)^x)^2$.
Сделаем замену $t = (0.2)^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$25t^2 - 126t + 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376 = 124^2$.
$t_1 = \frac{126 - 124}{2 \cdot 25} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$.
$t_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = \frac{250}{50} = 5$.
Оба корня положительны.
1) $t_1 = 1/25$:
$(0.2)^x = \frac{1}{25} \implies (\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2 \implies x=2$.
2) $t_2 = 5$:
$(0.2)^x = 5 \implies (\frac{1}{5})^x = 5^1 \implies 5^{-x} = 5^1 \implies -x=1 \implies x=-1$.
Ответ: $-1; 2$.

9) $3^{1+\sqrt{x+1}} = 28 - 3^{2-\sqrt{x+1}}$
Область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Преобразуем степени:
$3^{1+\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 3^{\sqrt{x+1}}$.
$3^{2-\sqrt{x+1}} = 3^2 \cdot 3^{-\sqrt{x+1}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x+1}}}$.
Сделаем замену $t = 3^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $t = 3^{\sqrt{x+1}} \ge 3^0 = 1$.
Уравнение примет вид:
$3t = 28 - \frac{9}{t}$.
$3t^2 = 28t - 9$.
$3t^2 - 28t + 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.
$t_1 = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9$.
Корень $t_1 = 1/3$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$.
Рассмотрим корень $t_2 = 9$.
Обратная замена: $3^{\sqrt{x+1}} = 9$.
$3^{\sqrt{x+1}} = 3^2$.
$\sqrt{x+1} = 2$.
Возведем обе части в квадрат: $x+1=4 \implies x=3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).
Ответ: $3$.

10) $\frac{5}{3^{x-1}} - \frac{2}{3^x - 1} = 4$
ОДЗ: $3^x - 1 \neq 0 \implies 3^x \neq 1 \implies x \neq 0$.
Преобразуем первый член: $\frac{5}{3^{x-1}} = \frac{5}{3^x \cdot 3^{-1}} = \frac{5 \cdot 3}{3^x} = \frac{15}{3^x}$.
Уравнение примет вид: $\frac{15}{3^x} - \frac{2}{3^x - 1} = 4$.
Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t \neq 1$. Также $t>0$.
$\frac{15}{t} - \frac{2}{t - 1} = 4$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{15(t-1) - 2t}{t(t-1)} = 4$.
$\frac{15t - 15 - 2t}{t^2 - t} = 4$.
$\frac{13t - 15}{t^2 - t} = 4$.
$13t - 15 = 4(t^2 - t)$.
$13t - 15 = 4t^2 - 4t$.
$4t^2 - 17t + 15 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{17 - 7}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
$t_2 = \frac{17 + 7}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Оба корня удовлетворяют условиям $t>0$ и $t \neq 1$.
1) $t_1 = 5/4$:
$3^x = \frac{5}{4} \implies x = \log_3(\frac{5}{4})$.
2) $t_2 = 3$:
$3^x = 3 \implies x = 1$.
Ответ: $1; \log_3(\frac{5}{4})$.