Номер 377, страница 248 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 377, страница 248.

377. Найдите множество решений неравенства:

1) $(\frac{1}{27})^{2-x} > 9^{2x-1};$

2) $1 < 10^{x+1} \le 100000;$

3) $0,04 \le 5^{2-x} \le 25;$

4) $1,3^{x^2 - 4x + 2} \le 1,69;$

5) $0,4^{x^2 + 2x + 2} \le 0,16;$

6) $4,5^{\frac{x^2 - 9x + 14}{x - 3}} \ge 1;$

7) $0,9^{\frac{6 - x}{x^2 - 2x - 3}} \le 1;$

8) $7 \cdot 343^{\frac{2x^2 + 1}{x}} - 49^{3x} < 0.$

1) $(\frac{1}{27})^{2-x} > 9^{2x-1}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, к 3.

Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ и $9 = 3^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(3^{-3})^{2-x} > (3^2)^{2x-1}$

Упростим показатели степеней:

$3^{-3(2-x)} > 3^{2(2x-1)}$

$3^{3x-6} > 3^{4x-2}$

Поскольку основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x - 6 > 4x - 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x - 4x > -2 + 6$

$-x > 4$

$x < -4$

Множество решений: $(-\infty; -4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4)$.

2) $1 < 10^{x+1} \le 100000$

Представим все части двойного неравенства в виде степеней с основанием 10.

$1 = 10^0$

$100000 = 10^5$

Неравенство принимает вид:

$10^0 < 10^{x+1} \le 10^5$

Так как основание $10 > 1$, знаки неравенства для показателей степеней сохраняются:

$0 < x+1 \le 5$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$0 - 1 < x \le 5 - 1$

$-1 < x \le 4$

Множество решений: $(-1; 4]$.

Ответ: $x \in (-1; 4]$.

3) $0,04 \le 5^{2-x} \le 25$

Приведем все части неравенства к основанию 5.

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$

$25 = 5^2$

Неравенство принимает вид:

$5^{-2} \le 5^{2-x} \le 5^2$

Основание $5 > 1$, поэтому знаки неравенства для показателей сохраняются:

$-2 \le 2-x \le 2$

Вычтем 2 из всех частей:

$-2-2 \le -x \le 2-2$

$-4 \le -x \le 0$

Умножим все части на -1 и изменим знаки неравенства на противоположные:

$4 \ge x \ge 0$

или $0 \le x \le 4$.

Множество решений: $[0; 4]$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

4) $1,3^{x^2 - 4x + 2} \le 1,69$

Приведем обе части к основанию 1,3. $1,69 = 1,3^2$.

$1,3^{x^2 - 4x + 2} \le 1,3^2$

Основание $1,3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 4x + 2 \le 2$

$x^2 - 4x \le 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-4) \le 0$

Найдем корни уравнения $x(x-4) = 0$: $x_1=0$, $x_2=4$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x(x-4) \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).

$0 \le x \le 4$

Множество решений: $[0; 4]$.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

5) $0,4^{x^2 + 2x + 2} \le 0,16$

Приведем обе части к основанию 0,4. $0,16 = 0,4^2$.

$0,4^{x^2 + 2x + 2} \le 0,4^2$

Основание $0 < 0,4 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 2x + 2 \ge 2$

$x^2 + 2x \ge 0$

$x(x+2) \ge 0$

Корни уравнения $x(x+2)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Парабола $y=x(x+2)$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x+2) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями.

$x \le -2$ или $x \ge 0$.

Множество решений: $(-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty)$.

6) $4,5^{\frac{x^2 - 9x + 14}{x-3}} \ge 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$.

Представим 1 как степень с основанием 4,5: $1 = 4,5^0$.

$4,5^{\frac{x^2 - 9x + 14}{x-3}} \ge 4,5^0$

Основание $4,5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x^2 - 9x + 14}{x-3} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$ это $x_1=2$ и $x_2=7$.

$\frac{(x-2)(x-7)}{x-3} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=2, x=7$. Нуль знаменателя: $x=3$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки 2 и 7 будут закрашенными, точка 3 - выколотой.

Интервалы: $(-\infty; 2]$, $[2; 3)$, $(3; 7]$, $[7; +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

При $x<2$: $\frac{(-)(-)_}{(-)} = (-)$

При $2<x<3$: $\frac{(+)(-)_}{(-)} = (+)$

При $3<x<7$: $\frac{(+)(-)_}{(+)} = (-)$

При $x>7$: $\frac{(+)(+)_}{(+)} = (+)$

Выбираем интервалы со знаком "+", а также включая точки $x=2$ и $x=7$.

Множество решений: $[2; 3) \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; 3) \cup [7; +\infty)$.

7) $0,9^{\frac{6-x}{x^2-2x-3}} \le 1$

ОДЗ: $x^2-2x-3 \ne 0 \implies (x-3)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 3$ и $x \ne -1$.

Представим 1 как $0,9^0$.

$0,9^{\frac{6-x}{x^2-2x-3}} \le 0,9^0$

Основание $0 < 0,9 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{6-x}{x^2-2x-3} \ge 0$

$\frac{-(x-6)}{(x-3)(x+1)} \ge 0$

Умножим на -1 и снова сменим знак неравенства:

$\frac{x-6}{(x-3)(x+1)} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=6, x=3, x=-1$.

Точка $x=6$ - закрашенная, точки $x=3$ и $x=-1$ - выколотые.

Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$, $(3; 6]$, $[6; +\infty)$.

Проверяем знаки:

При $x<-1$: $\frac{(-)_}{(-)(-)} = (-)$

При $-1<x<3$: $\frac{(-)_}{(+)(-)} = (+)$

При $3<x<6$: $\frac{(-)_}{(+)(+)} = (-)$

При $x>6$: $\frac{(+)_}{(+)(+)} = (+)$

Выбираем интервалы со знаком "-", включая точку $x=6$.

Множество решений: $(-\infty; -1) \cup (3; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; 6]$.

8) $7 \cdot 343^{\frac{2x^2+1}{x}} - 49^{3x} < 0$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Приведем все к основанию 7: $343 = 7^3$, $49=7^2$.

$7^1 \cdot (7^3)^{\frac{2x^2+1}{x}} - (7^2)^{3x} < 0$

$7^{1 + \frac{3(2x^2+1)}{x}} < 7^{6x}$

$7^{1 + \frac{6x^2+3}{x}} < 7^{6x}$

Основание $7 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$1 + \frac{6x^2+3}{x} < 6x$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{x}{x} + \frac{6x^2+3}{x} - \frac{6x \cdot x}{x} < 0$

$\frac{x + 6x^2 + 3 - 6x^2}{x} < 0$

$\frac{x+3}{x} < 0$

Решим методом интервалов. Нули: $x=-3, x=0$. Обе точки выколотые.

Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$.

Проверяем знаки:

При $x<-3$: $\frac{(-)_}{(-)} = (+)$

При $-3<x<0$: $\frac{(+)_}{(-)} = (-)$

При $x>0$: $\frac{(+)_}{(+)} = (+)$

Выбираем интервал со знаком "-".

Множество решений: $(-3; 0)$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.