Номер 384, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 384, страница 250.

384. Областью определения какой из данных функций является множество действительных чисел:

1) $y = \lg(x + 1)$;

2) $y = \lg(x^2 - 1)$;

3) $y = \lg(x^2 + 1)$;

4) $y = \lg x^2?$

Чтобы найти, у какой из предложенных функций область определения — это множество всех действительных чисел, необходимо проанализировать каждую функцию. Область определения логарифмической функции $y = \lg(f(x))$ (десятичный логарифм) находится из условия, что её аргумент должен быть строго положительным: $f(x) > 0$.

1) $y = \lg(x + 1)$

Найдем область определения из условия, что аргумент логарифма должен быть больше нуля:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Область определения $D(y) = (-1; +\infty)$. Это не множество всех действительных чисел.

2) $y = \lg(x^2 - 1)$

Найдем область определения из условия:
$x^2 - 1 > 0$
$x^2 > 1$
Это неравенство выполняется, когда $|x| > 1$, то есть $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Это не множество всех действительных чисел.

3) $y = \lg(x^2 + 1)$

Найдем область определения из условия:
$x^2 + 1 > 0$
Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно $1$ ($x^2 + 1 \ge 1$).
Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 > 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть множество всех действительных чисел.

4) $y = \lg x^2$

Найдем область определения из условия:
$x^2 > 0$
Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как при $x=0$ выражение $x^2$ равно нулю.
Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Это не множество всех действительных чисел.

Таким образом, единственная функция, областью определения которой является множество всех действительных чисел, — это функция под номером 3.

Ответ: 3.