Номер 388, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 388, страница 250.

388. На одном из рисунков 16, а–г изображён график функции $y = \log_{0,1}(-x)$. Укажите этот рисунок.

Рис. 16

а

б

в

г

Чтобы определить, какой из представленных графиков соответствует функции $y = \log_{0,1}(-x)$, проанализируем свойства этой функции в несколько шагов.

1. Область определения функции. Аргумент логарифмической функции должен быть строго больше нуля. Для функции $y = \log_{0,1}(-x)$ аргументом является выражение $-x$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $-x > 0$ Умножая обе части неравенства на $-1$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный: $x < 0$ Это означает, что область определения функции — это все отрицательные числа, то есть $x \in (-\infty; 0)$. График функции должен целиком располагаться в левой координатной полуплоскости (слева от оси $y$). Это позволяет сразу исключить графики а и б, так как они расположены в правой полуплоскости.

2. Монотонность функции. График функции $y = \log_{0,1}(-x)$ можно получить из графика базовой функции $g(x) = \log_{0,1}(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $y$. Рассмотрим функцию $g(x) = \log_{0,1}(x)$. Основание логарифма $a = 0,1$, и так как $0 < a < 1$, функция $g(x)$ является убывающей на всей своей области определения. Ее схематический график показан на рисунке б. Преобразование $f(x) \to f(-x)$ является отражением графика относительно оси $y$. Отражение убывающей функции относительно оси $y$ дает возрастающую функцию. Таким образом, функция $y = \log_{0,1}(-x)$ должна быть возрастающей. Теперь сравним оставшиеся два варианта:

• График в показывает убывающую функцию.
• График г показывает возрастающую функцию.

Следовательно, искомый график — это г.

3. Контрольная точка (пересечение с осью Ox). Для дополнительной проверки найдем точку, в которой график пересекает ось абсцисс. В этой точке $y = 0$. $\log_{0,1}(-x) = 0$ По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему: $-x = (0,1)^0$ $-x = 1$ $x = -1$ Значит, график функции проходит через точку с координатами $(-1, 0)$. На рисунке г мы видим, что график действительно пересекает ось $x$ в точке $-1$, что подтверждает наш вывод.

На основании анализа области определения, монотонности и точки пересечения с осью $x$, мы приходим к выводу, что график функции $y = \log_{0,1}(-x)$ изображен на рисунке г.

Ответ: г.