Номер 393, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства - номер 393, страница 251.

Учебник.

393. Между какими двумя последовательными целыми числами расположено на координатной прямой число:

1) $\lg 50$;

2) $\log_3 8$;

3) $\log_1 30$;

4) $\log_{0,1} 4,37$?

Решение 2.

1) lg 50
Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\lg 50$, нам нужно найти такое целое число $n$, что $n < \lg 50 < n+1$. Запись $\lg 50$ означает логарифм по основанию 10, то есть $\log_{10} 50$. Неравенство можно переписать в виде $10^n < 50 < 10^{n+1}$. Рассмотрим степени числа 10: $10^1 = 10$ $10^2 = 100$ Поскольку $10 < 50 < 100$, мы имеем $10^1 < 50 < 10^2$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, из этого неравенства следует, что $\log_{10}(10^1) < \log_{10}(50) < \log_{10}(10^2)$. Это означает, что $1 < \lg 50 < 2$. Таким образом, число $\lg 50$ расположено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: между 1 и 2.

2) log₃ 8
Нам нужно определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_3 8$. Ищем такое целое число $n$, что $n < \log_3 8 < n+1$. Это эквивалентно неравенству $3^n < 8 < 3^{n+1}$. Рассмотрим степени числа 3: $3^1 = 3$ $3^2 = 9$ Поскольку $3 < 8 < 9$, мы имеем $3^1 < 8 < 3^2$. Так как логарифмическая функция с основанием 3 является возрастающей, из этого неравенства следует, что $\log_3(3^1) < \log_3(8) < \log_3(3^2)$. Это означает, что $1 < \log_3 8 < 2$. Таким образом, число $\log_3 8$ расположено между последовательными целыми числами 1 и 2.
Ответ: между 1 и 2.

3) log₁/₃ 30
Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_{1/3} 30$, обозначим это число как $x$: $x = \log_{1/3} 30$. По определению логарифма, это равенство эквивалентно $(1/3)^x = 30$. Поскольку $1/3 = 3^{-1}$, мы можем переписать уравнение как $(3^{-1})^x = 30$, то есть $3^{-x} = 30$. Теперь найдем, между какими последовательными целыми степенями числа 3 находится число 30. $3^3 = 27$ $3^4 = 81$ Мы видим, что $27 < 30 < 81$, следовательно $3^3 < 30 < 3^4$. Подставим $3^{-x}$ вместо 30: $3^3 < 3^{-x} < 3^4$. Так как показательная функция с основанием 3 возрастающая, мы можем сравнить показатели степеней: $3 < -x < 4$. Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на -1. При этом знаки неравенства меняются на противоположные: $-3 > x > -4$. Записав в стандартном порядке, получаем $-4 < x < -3$. Таким образом, число $\log_{1/3} 30$ расположено между последовательными целыми числами -4 и -3.
Ответ: между -4 и -3.

4) log₀,₁ 4,37
Найдем, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_{0,1} 4,37$. Обозначим это число как $x$: $x = \log_{0,1} 4,37$. По определению логарифма, $(0,1)^x = 4,37$. Поскольку $0,1 = 10^{-1}$, мы можем переписать уравнение как $(10^{-1})^x = 4,37$, то есть $10^{-x} = 4,37$. Теперь найдем, между какими последовательными целыми степенями числа 10 находится число 4,37. $10^0 = 1$ $10^1 = 10$ Мы видим, что $1 < 4,37 < 10$, следовательно $10^0 < 4,37 < 10^1$. Подставим $10^{-x}$ вместо 4,37: $10^0 < 10^{-x} < 10^1$. Так как показательная функция с основанием 10 возрастающая, мы можем сравнить показатели степеней: $0 < -x < 1$. Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки на противоположные: $0 > x > -1$. Записав в стандартном порядке, получаем $-1 < x < 0$. Таким образом, число $\log_{0,1} 4,37$ расположено между последовательными целыми числами -1 и 0.
Ответ: между -1 и 0.