Номер 390, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства - номер 390, страница 251.

Учебник.

390. Сравните числа $m$ и $n$, если:

1) $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$;

2) $\log_{1,5} m < \log_{1,5} n$.

Решение 2.

1) Чтобы сравнить числа $m$ и $n$, исходя из неравенства $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$, необходимо рассмотреть свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

В данном случае основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$ (поскольку $0 < \frac{1}{2} < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является монотонно убывающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ следует $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Соответственно, если дано неравенство для логарифмов $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$, то для их аргументов $m$ и $n$ будет выполняться неравенство с противоположным знаком. Также следует учесть, что по определению логарифма, его аргументы должны быть положительными, то есть $m > 0$ и $n > 0$.

Таким образом, из $\log_{\frac{1}{2}} m < \log_{\frac{1}{2}} n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) Рассмотрим неравенство $\log_{1.5} m < \log_{1.5} n$.

В этом случае основание логарифма $a = 1.5$. Так как основание $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{1.5} x$ является монотонно возрастающей. Это означает, что для любых двух положительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Следовательно, если дано неравенство для логарифмов $\log_{1.5} m < \log_{1.5} n$, то для их аргументов $m$ и $n$ будет выполняться неравенство с тем же знаком. Аргументы $m$ и $n$ также должны быть положительными ($m > 0$, $n > 0$).

Таким образом, из $\log_{1.5} m < \log_{1.5} n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.