Номер 385, страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 385, страница 250.

385. Найдите область определения функции:

1) $y = \ln \frac{x+1}{4-5x};$

2) $y = \log_6 (4^x - 3 \cdot 2^x + 2);$

3) $y = \log (\log x);$

4) $y = \frac{x-2}{\log_2 (x^2 - 8)};$

5) $y = \log (5x - x^2) + \frac{1}{\log (2-x)};$

6) $y = \log_{x-2} (x^2 + x - 3).$

1) Область определения логарифмической функции $y = \ln(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. В данном случае $f(x) = \frac{x+1}{4-5x}$.
Следовательно, необходимо решить неравенство:
$\frac{x+1}{4-5x} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
$x+1 = 0 \implies x = -1$
$4-5x = 0 \implies 5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; \frac{4}{5})$ и $(\frac{4}{5}; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале, подставляя пробные точки:
- Для интервала $(-1; \frac{4}{5})$ возьмем $x=0$: $\frac{0+1}{4-5 \cdot 0} = \frac{1}{4} > 0$. Этот интервал подходит.
- Для интервала $(\frac{4}{5}; +\infty)$ возьмем $x=1$: $\frac{1+1}{4-5 \cdot 1} = \frac{2}{-1} < 0$.
- Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем $x=-2$: $\frac{-2+1}{4-5(-2)} = \frac{-1}{14} < 0$.
Таким образом, неравенство выполняется только на интервале $(-1; \frac{4}{5})$.
Ответ: $D(y) = (-1; \frac{4}{5})$.

2) Область определения функции $y = \log_6(4^x - 3 \cdot 2^x + 2)$ находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$4^x - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$
Поскольку $4^x = (2^x)^2$, можно сделать замену переменной $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$. Неравенство принимает вид квадратного неравенства:
$t^2 - 3t + 2 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Парабола $f(t) = t^2 - 3t + 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями, то есть при $t < 1$ или $t > 2$.
Возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $t < 1 \implies 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0$.
2) $t > 2 \implies 2^x > 2 \implies 2^x > 2^1 \implies x > 1$.
Объединяя полученные решения, получаем область определения функции.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

3) Функция $y = \lg \lg x$ является композицией двух логарифмических функций. Для нахождения области определения необходимо, чтобы аргументы обоих логарифмов были положительны.
1) Для внутреннего логарифма $\lg x$ должно выполняться условие: $x > 0$.
2) Для внешнего логарифма $\lg(\lg x)$ должно выполняться условие: $\lg x > 0$.
Решим второе неравенство. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, а $0 = \lg 1$, получаем:
$\lg x > \lg 1 \implies x > 1$.
Теперь необходимо найти пересечение решений этих двух условий: $x > 0$ и $x > 1$. Общим решением является более сильное неравенство.
$\begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$
Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

4) Область определения дроби $y = \frac{x-2}{\log_2(x^2-8)}$ задается системой условий:
1) Аргумент логарифма в знаменателе должен быть положителен: $x^2 - 8 > 0$.
2) Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_2(x^2 - 8) \neq 0$.
Решим первое неравенство:
$x^2 > 8 \implies |x| > \sqrt{8} \implies |x| > 2\sqrt{2}$.
Решением является объединение интервалов $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.
Решим второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице:
$\log_2(x^2 - 8) \neq 0 \implies x^2 - 8 \neq 1 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Теперь найдем общее решение. Нужно из множества $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$ исключить точки $x=3$ и $x=-3$.
Так как $3 = \sqrt{9}$ и $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, то $3 > 2\sqrt{2}$. Значит, $x=3$ входит в интервал $(2\sqrt{2}; +\infty)$, и его нужно исключить.
Аналогично, $-3 = -\sqrt{9}$ и $-2\sqrt{2} = -\sqrt{8}$, то $-3 < -2\sqrt{2}$. Значит, $x=-3$ входит в интервал $(-\infty; -2\sqrt{2})$, и его тоже нужно исключить.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 3) \cup (3; +\infty)$.

5) Область определения функции $y = \lg(5x - x^2) + \frac{1}{\lg(2-x)}$ является пересечением областей определения каждого из двух слагаемых.
1) Для первого слагаемого $\lg(5x - x^2)$ аргумент логарифма должен быть положителен:
$5x - x^2 > 0 \implies x(5-x) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=5$. Парабола $y=5x-x^2$ ветвями вниз, значит, она положительна между корнями: $x \in (0; 5)$.
2) Для второго слагаемого $\frac{1}{\lg(2-x)}$ должны выполняться два условия:
а) Аргумент логарифма положителен: $2-x > 0 \implies x < 2$.
б) Знаменатель не равен нулю: $\lg(2-x) \neq 0 \implies 2-x \neq 1 \implies x \neq 1$.
Область определения второго слагаемого: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 2)$.
Теперь найдем пересечение множеств $(0; 5)$ и $((-\infty; 1) \cup (1; 2))$.
Это пересечение состоит из двух интервалов: $(0; 1)$ и $(1; 2)$.
Ответ: $D(y) = (0; 1) \cup (1; 2)$.

6) Для логарифмической функции с переменным основанием $y = \log_{x-2}(x^2+x-3)$ область определения задается системой из трех условий:
1) Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 + x - 3 > 0$.
2) Основание логарифма должно быть положительно: $x - 2 > 0$.
3) Основание логарифма не должно быть равно единице: $x - 2 \neq 1$.
Рассмотрим каждое условие по отдельности:
1) Для $x^2 + x - 3 > 0$ найдем корни уравнения $x^2 + x - 3 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; +\infty)$.
2) $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3) $x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$.
Теперь найдем пересечение всех трех условий. Сравним значения $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ и $2$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $2 < -1+\sqrt{13} < 3$, откуда $1 < \frac{-1+\sqrt{13}}{2} < 1.5$. Таким образом, $2 > \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.
Пересечение множеств из условия 1 и условия 2, то есть $((\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; +\infty)) \cap (2; +\infty)$, дает интервал $(2; +\infty)$.
Из этого интервала нужно исключить точку $x=3$ согласно условию 3.
Ответ: $D(y) = (2; 3) \cup (3; +\infty)$.