Страница 250 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

383. Вычислите:

1) $2^{1 - \log_2 7}$;

2) $5^{3\log_5 2}$;

3) $10^{1 + \lg \sin \frac{\pi}{6}}$;

4) $4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5}$;

5) $\log_4 \log_{14} 196 + \log_5 \sqrt{5}$;

6) $\lg 20 + \lg 50$;

7) $\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{27}$;

8) $5^{-2\log_{25} \frac{1}{4} + \log_5 2}$;

9) $36^{\log_6 7} + 10^2 - \lg 4 - 7^{\log_{49} 25}$;

10) $3\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 64$;

11) $\frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2\lg 3}$;

12) $\log_{\sqrt{2}} 12 - \log_2 9$.

1) $2^{1 - \log_2 7}$
Для вычисления используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$2^{1 - \log_2 7} = \frac{2^1}{2^{\log_2 7}} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

2) $5^{3\log_5 2}$
Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$5^{3\log_5 2} = 5^{\log_5 2^3} = 5^{\log_5 8} = 8$.
Ответ: $8$.

3) $10^{1 + \lg \sin\frac{\pi}{6}}$
Сначала вычислим значение синуса: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Затем используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество (учитывая, что $\lg x = \log_{10} x$).
$10^{1 + \lg \frac{1}{2}} = 10^1 \cdot 10^{\lg \frac{1}{2}} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.
Ответ: $5$.

4) $4^{\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5}$
Представим основание степени $4$ как $2^2$ и преобразуем показатель, используя свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$\frac{1}{2}\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 3^{\frac{1}{2}} + \log_2 5 = \log_2 \sqrt{3} + \log_2 5 = \log_2(5\sqrt{3})$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$4^{\log_2(5\sqrt{3})} = (2^2)^{\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{2\log_2(5\sqrt{3})} = 2^{\log_2((5\sqrt{3})^2)} = (5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$.
Ответ: $75$.

5) $\log_4 \log_{14} 196 + \log_5 \sqrt{5}$
Вычислим каждое слагаемое отдельно.Для первого слагаемого сначала найдем внутренний логарифм: $\log_{14} 196 = \log_{14} 14^2 = 2$. Тогда первое слагаемое равно $\log_4 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2}$.
Второе слагаемое: $\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
Суммируем полученные значения: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: $1$.

6) $\lg 20 + \lg 50$
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.
$\lg 20 + \lg 50 = \lg(20 \cdot 50) = \lg 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$.
Ответ: $3$.

7) $\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{27}$
Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.
$\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{27} = \log_3 \left(\frac{7}{\frac{7}{27}}\right) = \log_3(7 \cdot \frac{27}{7}) = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$.
Ответ: $3$.

8) $5^{-2\log_{25} \frac{1}{4} + \log_5 2}$
Упростим показатель степени. Приведем логарифм по основанию $25$ к логарифму по основанию $5$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
$-2\log_{25} \frac{1}{4} = -2\log_{5^2} (4^{-1}) = -2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 (4^{-1}) = -1 \cdot (-\log_5 4) = \log_5 4$.
Теперь показатель степени равен $\log_5 4 + \log_5 2 = \log_5(4 \cdot 2) = \log_5 8$.
Подставляем в исходное выражение: $5^{\log_5 8} = 8$.
Ответ: $8$.

9) $36^{\log_6 7} + 10^{2 - \lg 4} - 7^{\log_{49} 25}$
Вычислим каждое слагаемое отдельно.
$36^{\log_6 7} = (6^2)^{\log_6 7} = 6^{2\log_6 7} = 6^{\log_6 7^2} = 7^2 = 49$.
$10^{2 - \lg 4} = \frac{10^2}{10^{\lg 4}} = \frac{100}{4} = 25$.
$7^{\log_{49} 25} = 7^{\log_{7^2} 5^2} = 7^{\frac{2}{2}\log_7 5} = 7^{\log_7 5} = 5$.
Складываем и вычитаем результаты: $49 + 25 - 5 = 69$.
Ответ: $69$.

10) $3\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 64$
Используем свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$3\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 64 = \lg 5^3 + \lg 64^{\frac{1}{2}} = \lg 125 + \lg 8 = \lg(125 \cdot 8) = \lg 1000 = 3$.
Ответ: $3$.

11) $\frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2\lg 3}$
Преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов.
Числитель: $\lg 27 + \lg 12 = \lg(3^3) + \lg(3 \cdot 4) = 3\lg 3 + \lg 3 + \lg 4 = 4\lg 3 + 2\lg 2$.
Знаменатель: $\lg 2 + 2\lg 3$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:$\frac{4\lg 3 + 2\lg 2}{\lg 2 + 2\lg 3} = \frac{2(2\lg 3 + \lg 2)}{2\lg 3 + \lg 2} = 2$.
Ответ: $2$.

12) $\log_{\sqrt{2}} 12 - \log_2 9$
Приведем логарифмы к одному основанию $2$. Для первого слагаемого используем формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{\sqrt{2}} 12 = \log_{2^{1/2}} 12 = \frac{1}{1/2} \log_2 12 = 2\log_2 12 = \log_2 12^2 = \log_2 144$.
Теперь выражение принимает вид:$\log_2 144 - \log_2 9 = \log_2\left(\frac{144}{9}\right) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.
Ответ: $4$.

384. Областью определения какой из данных функций является множество действительных чисел:

1) $y = \lg(x + 1)$;

2) $y = \lg(x^2 - 1)$;

3) $y = \lg(x^2 + 1)$;

4) $y = \lg x^2?$

Чтобы найти, у какой из предложенных функций область определения — это множество всех действительных чисел, необходимо проанализировать каждую функцию. Область определения логарифмической функции $y = \lg(f(x))$ (десятичный логарифм) находится из условия, что её аргумент должен быть строго положительным: $f(x) > 0$.

1) $y = \lg(x + 1)$

Найдем область определения из условия, что аргумент логарифма должен быть больше нуля:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Область определения $D(y) = (-1; +\infty)$. Это не множество всех действительных чисел.

2) $y = \lg(x^2 - 1)$

Найдем область определения из условия:
$x^2 - 1 > 0$
$x^2 > 1$
Это неравенство выполняется, когда $|x| > 1$, то есть $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Это не множество всех действительных чисел.

3) $y = \lg(x^2 + 1)$

Найдем область определения из условия:
$x^2 + 1 > 0$
Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно $1$ ($x^2 + 1 \ge 1$).
Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 > 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть множество всех действительных чисел.

4) $y = \lg x^2$

Найдем область определения из условия:
$x^2 > 0$
Это неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как при $x=0$ выражение $x^2$ равно нулю.
Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Это не множество всех действительных чисел.

Таким образом, единственная функция, областью определения которой является множество всех действительных чисел, — это функция под номером 3.

Ответ: 3.

385. Найдите область определения функции:

1) $y = \ln \frac{x+1}{4-5x};$

2) $y = \log_6 (4^x - 3 \cdot 2^x + 2);$

3) $y = \log (\log x);$

4) $y = \frac{x-2}{\log_2 (x^2 - 8)};$

5) $y = \log (5x - x^2) + \frac{1}{\log (2-x)};$

6) $y = \log_{x-2} (x^2 + x - 3).$

1) Область определения логарифмической функции $y = \ln(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. В данном случае $f(x) = \frac{x+1}{4-5x}$.
Следовательно, необходимо решить неравенство:
$\frac{x+1}{4-5x} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
$x+1 = 0 \implies x = -1$
$4-5x = 0 \implies 5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; \frac{4}{5})$ и $(\frac{4}{5}; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале, подставляя пробные точки:
- Для интервала $(-1; \frac{4}{5})$ возьмем $x=0$: $\frac{0+1}{4-5 \cdot 0} = \frac{1}{4} > 0$. Этот интервал подходит.
- Для интервала $(\frac{4}{5}; +\infty)$ возьмем $x=1$: $\frac{1+1}{4-5 \cdot 1} = \frac{2}{-1} < 0$.
- Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем $x=-2$: $\frac{-2+1}{4-5(-2)} = \frac{-1}{14} < 0$.
Таким образом, неравенство выполняется только на интервале $(-1; \frac{4}{5})$.
Ответ: $D(y) = (-1; \frac{4}{5})$.

2) Область определения функции $y = \log_6(4^x - 3 \cdot 2^x + 2)$ находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$4^x - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$
Поскольку $4^x = (2^x)^2$, можно сделать замену переменной $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$. Неравенство принимает вид квадратного неравенства:
$t^2 - 3t + 2 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Парабола $f(t) = t^2 - 3t + 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями, то есть при $t < 1$ или $t > 2$.
Возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $t < 1 \implies 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0$.
2) $t > 2 \implies 2^x > 2 \implies 2^x > 2^1 \implies x > 1$.
Объединяя полученные решения, получаем область определения функции.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

3) Функция $y = \lg \lg x$ является композицией двух логарифмических функций. Для нахождения области определения необходимо, чтобы аргументы обоих логарифмов были положительны.
1) Для внутреннего логарифма $\lg x$ должно выполняться условие: $x > 0$.
2) Для внешнего логарифма $\lg(\lg x)$ должно выполняться условие: $\lg x > 0$.
Решим второе неравенство. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, а $0 = \lg 1$, получаем:
$\lg x > \lg 1 \implies x > 1$.
Теперь необходимо найти пересечение решений этих двух условий: $x > 0$ и $x > 1$. Общим решением является более сильное неравенство.
$\begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$
Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

4) Область определения дроби $y = \frac{x-2}{\log_2(x^2-8)}$ задается системой условий:
1) Аргумент логарифма в знаменателе должен быть положителен: $x^2 - 8 > 0$.
2) Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_2(x^2 - 8) \neq 0$.
Решим первое неравенство:
$x^2 > 8 \implies |x| > \sqrt{8} \implies |x| > 2\sqrt{2}$.
Решением является объединение интервалов $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.
Решим второе условие. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице:
$\log_2(x^2 - 8) \neq 0 \implies x^2 - 8 \neq 1 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Теперь найдем общее решение. Нужно из множества $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$ исключить точки $x=3$ и $x=-3$.
Так как $3 = \sqrt{9}$ и $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, то $3 > 2\sqrt{2}$. Значит, $x=3$ входит в интервал $(2\sqrt{2}; +\infty)$, и его нужно исключить.
Аналогично, $-3 = -\sqrt{9}$ и $-2\sqrt{2} = -\sqrt{8}$, то $-3 < -2\sqrt{2}$. Значит, $x=-3$ входит в интервал $(-\infty; -2\sqrt{2})$, и его тоже нужно исключить.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 3) \cup (3; +\infty)$.

5) Область определения функции $y = \lg(5x - x^2) + \frac{1}{\lg(2-x)}$ является пересечением областей определения каждого из двух слагаемых.
1) Для первого слагаемого $\lg(5x - x^2)$ аргумент логарифма должен быть положителен:
$5x - x^2 > 0 \implies x(5-x) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=5$. Парабола $y=5x-x^2$ ветвями вниз, значит, она положительна между корнями: $x \in (0; 5)$.
2) Для второго слагаемого $\frac{1}{\lg(2-x)}$ должны выполняться два условия:
а) Аргумент логарифма положителен: $2-x > 0 \implies x < 2$.
б) Знаменатель не равен нулю: $\lg(2-x) \neq 0 \implies 2-x \neq 1 \implies x \neq 1$.
Область определения второго слагаемого: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 2)$.
Теперь найдем пересечение множеств $(0; 5)$ и $((-\infty; 1) \cup (1; 2))$.
Это пересечение состоит из двух интервалов: $(0; 1)$ и $(1; 2)$.
Ответ: $D(y) = (0; 1) \cup (1; 2)$.

6) Для логарифмической функции с переменным основанием $y = \log_{x-2}(x^2+x-3)$ область определения задается системой из трех условий:
1) Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 + x - 3 > 0$.
2) Основание логарифма должно быть положительно: $x - 2 > 0$.
3) Основание логарифма не должно быть равно единице: $x - 2 \neq 1$.
Рассмотрим каждое условие по отдельности:
1) Для $x^2 + x - 3 > 0$ найдем корни уравнения $x^2 + x - 3 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-1-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; +\infty)$.
2) $x - 2 > 0 \implies x > 2$.
3) $x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$.
Теперь найдем пересечение всех трех условий. Сравним значения $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ и $2$. Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $2 < -1+\sqrt{13} < 3$, откуда $1 < \frac{-1+\sqrt{13}}{2} < 1.5$. Таким образом, $2 > \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$.
Пересечение множеств из условия 1 и условия 2, то есть $((\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; +\infty)) \cap (2; +\infty)$, дает интервал $(2; +\infty)$.
Из этого интервала нужно исключить точку $x=3$ согласно условию 3.
Ответ: $D(y) = (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

386. На рисунке 14 изображён график убывающей функции $y = f (x)$, определённой на множестве действительных чисел. Сколько корней имеет уравнение $f (x) = \log_{4} x$?

Рис. 14

Для того чтобы найти количество корней уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$, необходимо определить количество точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=\log_{4}{x}$.

Рассмотрим свойства каждой из этих функций.

1. Функция $y = f(x)$. По условию, это убывающая функция, определенная на множестве всех действительных чисел. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

2. Функция $y = \log_{4}{x}$. Это логарифмическая функция.

• Область определения этой функции: $x > 0$.
• Основание логарифма $4 > 1$, следовательно, функция $y = \log_{4}{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что если $x_1 < x_2$, то $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$.

Таким образом, нам нужно найти количество точек пересечения графика убывающей функции и графика возрастающей функции. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза.

Докажем, что пересечение существует и оно единственно. Рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = f(x) - \log_{4}{x}$. Эта функция определена при $x > 0$. Корни уравнения $f(x) = \log_{4}{x}$ соответствуют нулям функции $h(x)$.

Функция $h(x)$ является разностью убывающей функции $f(x)$ и возрастающей функции $\log_{4}{x}$. Разность убывающей и возрастающей функций всегда является убывающей функцией. Действительно, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$ и $\log_{4}{x_1} < \log_{4}{x_2}$ (что эквивалентно $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$). Складывая неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ и $-\log_{4}{x_1} > -\log_{4}{x_2}$, получаем $f(x_1) - \log_{4}{x_1} > f(x_2) - \log_{4}{x_2}$, то есть $h(x_1) > h(x_2)$. Значит, $h(x)$ — строго убывающая функция.

Поскольку функция $h(x)$ строго монотонна, она может принимать каждое свое значение только один раз. Следовательно, уравнение $h(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Покажем, что корень существует. Для этого проанализируем поведение функции $h(x)$ на границах ее области определения $(0; +\infty)$.

При $x \to 0^+$: Из графика видно, что $f(x)$ стремится к некоторому положительному значению $f(0)$. В то же время, $\log_{4}{x} \to -\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to f(0) - (-\infty) = +\infty$.

При $x \to +\infty$: Из графика видно, что функция $f(x)$ убывает (и, возможно, стремится к некоторой константе или к $-\infty$). Функция $\log_{4}{x}$ неограниченно возрастает, $\log_{4}{x} \to +\infty$. Следовательно, $h(x) = f(x) - \log_{4}{x} \to -\infty$.

Функция $h(x)$ является непрерывной на интервале $(0; +\infty)$ как разность двух непрерывных функций. Поскольку на этом интервале она принимает как положительные (при $x$, близких к 0), так и отрицательные (при больших $x$) значения, то по теореме о промежуточном значении существует хотя бы одна точка $x_0$, в которой $h(x_0)=0$.

Так как мы уже установили, что функция $h(x)$ строго убывает, такой корень может быть только один.

Следовательно, графики функций $y = f(x)$ и $y = \log_{4}{x}$ пересекаются ровно в одной точке, а значит, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: 1.

387. На одном из рисунков 15, а−г изображён график функции $y = -\log_3 x$. Укажите этот рисунок.

Рис. 15

а

б

в

г

Чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = -\log_3 x$, проанализируем её основные свойства и сравним их с представленными изображениями.

1. Область определения функции.
Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Для функции $y = -\log_3 x$ это означает, что $x > 0$. Следовательно, график функции должен быть расположен полностью справа от оси ординат ($Oy$). Этому условию не удовлетворяют графики в и г, так как они находятся в области $x < 0$. Таким образом, искомый график находится среди рисунков а и б.

2. Монотонность функции.
Рассмотрим вспомогательную функцию $y_1 = \log_3 x$. Так как основание логарифма $3 > 1$, эта функция является возрастающей. Наша функция $y = -y_1 = -\log_3 x$ получается из $y_1$ умножением на $-1$. Такое преобразование соответствует симметричному отражению графика относительно оси абсцисс ($Ox$). При отражении относительно оси $Ox$ возрастающая функция становится убывающей.
Среди оставшихся графиков (а и б) график а изображает возрастающую функцию, а график б — убывающую. Следовательно, правильным является график б.

3. Проверка по контрольным точкам.
Для дополнительной уверенности найдем значения функции в нескольких точках:

• При $x = 1$, $y = -\log_3 1 = -0 = 0$. График должен проходить через точку $(1; 0)$.
• При $x = 3$, $y = -\log_3 3 = -1$. График должен проходить через точку $(3; -1)$.

Оба графика, а и б, проходят через точку $(1; 0)$. Теперь проверим точку $(3; -1)$. На рисунке б мы видим, что при $x=3$ значение $y$ равно $-1$. На рисунке а при $x=3$ значение $y$ равно $1$, что соответствует функции $y = \log_3 x$.

4. Асимптота.
При $x$, стремящемся к $0$ справа ($x \to 0^+$), $\log_3 x \to -\infty$. Тогда $y = -\log_3 x \to -(-\infty) = +\infty$. Это означает, что при приближении к оси $Oy$ график уходит вверх в бесконечность. Такое поведение наблюдается именно на графике б.

Таким образом, всесторонний анализ показывает, что график функции $y = -\log_3 x$ изображен на рисунке б.

Ответ: б.

388. На одном из рисунков 16, а–г изображён график функции $y = \log_{0,1}(-x)$. Укажите этот рисунок.

Рис. 16

а

б

в

г

Чтобы определить, какой из представленных графиков соответствует функции $y = \log_{0,1}(-x)$, проанализируем свойства этой функции в несколько шагов.

1. Область определения функции. Аргумент логарифмической функции должен быть строго больше нуля. Для функции $y = \log_{0,1}(-x)$ аргументом является выражение $-x$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $-x > 0$ Умножая обе части неравенства на $-1$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный: $x < 0$ Это означает, что область определения функции — это все отрицательные числа, то есть $x \in (-\infty; 0)$. График функции должен целиком располагаться в левой координатной полуплоскости (слева от оси $y$). Это позволяет сразу исключить графики а и б, так как они расположены в правой полуплоскости.

2. Монотонность функции. График функции $y = \log_{0,1}(-x)$ можно получить из графика базовой функции $g(x) = \log_{0,1}(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $y$. Рассмотрим функцию $g(x) = \log_{0,1}(x)$. Основание логарифма $a = 0,1$, и так как $0 < a < 1$, функция $g(x)$ является убывающей на всей своей области определения. Ее схематический график показан на рисунке б. Преобразование $f(x) \to f(-x)$ является отражением графика относительно оси $y$. Отражение убывающей функции относительно оси $y$ дает возрастающую функцию. Таким образом, функция $y = \log_{0,1}(-x)$ должна быть возрастающей. Теперь сравним оставшиеся два варианта:

• График в показывает убывающую функцию.
• График г показывает возрастающую функцию.

Следовательно, искомый график — это г.

3. Контрольная точка (пересечение с осью Ox). Для дополнительной проверки найдем точку, в которой график пересекает ось абсцисс. В этой точке $y = 0$. $\log_{0,1}(-x) = 0$ По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему: $-x = (0,1)^0$ $-x = 1$ $x = -1$ Значит, график функции проходит через точку с координатами $(-1, 0)$. На рисунке г мы видим, что график действительно пересекает ось $x$ в точке $-1$, что подтверждает наш вывод.

На основании анализа области определения, монотонности и точки пересечения с осью $x$, мы приходим к выводу, что график функции $y = \log_{0,1}(-x)$ изображен на рисунке г.

Ответ: г.

389. Постройте график функции:

1) $y = 5^{\log_5 (x - 1)};$

2) $y = 2^{-\log_2 x};$

3) $y = 10^{\lg \sin x};$

4) $y = e^{\ln(4 - x^2)};$

5) $y = \sqrt{\ln \sin x};$

6) $y = \sqrt{\log_5^2 x \cdot \log_x 5}.$

Дана функция $y = 5^{\log_5 (x - 1)}$.
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.
2. Упростим выражение для функции, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (при $a > 0, a \neq 1, b > 0$):
$y = x - 1$.
3. Графиком функции является прямая $y = x - 1$, но с учетом ОДЗ $x > 1$. Это означает, что мы строим часть прямой (луч), которая начинается в точке с абсциссой $x=1$. Координаты начальной точки: $y = 1 - 1 = 0$, то есть $(1, 0)$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), сама точка $(1, 0)$ не принадлежит графику (является "выколотой").
Ответ: Графиком функции является луч прямой $y = x - 1$ с началом в выколотой точке $(1, 0)$.

Дана функция $y = 2^{-\log_2 x}$.
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.
2. Упростим выражение, используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:
$-\log_2 x = \log_2 (x^{-1}) = \log_2 \left(\frac{1}{x}\right)$.
Теперь применим основное логарифмическое тождество:
$y = 2^{\log_2 (1/x)} = \frac{1}{x}$.
3. Графиком функции является гипербола $y = 1/x$. С учетом ОДЗ $x > 0$, мы строим только ту ветвь гиперболы, которая расположена в первой координатной четверти.
Ответ: Графиком функции является ветвь гиперболы $y = 1/x$, расположенная в I координатной четверти.

Дана функция $y = 10^{\lg \sin x}$. (lg - это десятичный логарифм, т.е. $\log_{10}$).
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$\sin x > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $x$ находится в I или II координатной четверти, то есть на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
ОДЗ: $\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (2\pi n, \pi + 2\pi n)$.
2. Упростим выражение для функции, используя основное логарифмическое тождество:
$y = \sin x$.
3. Графиком функции является синусоида $y = \sin x$, но построенная только на тех интервалах, где она положительна (лежит выше оси Ox). Это представляет собой последовательность "арок" синусоиды. Концевые точки каждой арки (например, $(0,0)$ и $(\pi, 0)$ для $n=0$) не принадлежат графику, так как в этих точках $\sin x = 0$.
Ответ: Графиком функции является совокупность арок синусоиды $y = \sin x$, лежащих выше оси абсцисс на интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Концевые точки арок, лежащие на оси абсцисс, выколоты.

Дана функция $y = e^{\ln(4 - x^2)}$. (ln - это натуральный логарифм, т.е. $\log_e$).
1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$4 - x^2 > 0 \implies x^2 < 4 \implies -2 < x < 2$.
ОДЗ: $x \in (-2, 2)$.
2. Упростим выражение для функции, используя основное логарифмическое тождество:
$y = 4 - x^2$.
3. Графиком функции является парабола $y = 4 - x^2$, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$. С учетом ОДЗ, мы строим только часть этой параболы, дугу, для которой $x \in (-2, 2)$. Границы этого интервала, точки $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, не принадлежат графику и являются выколотыми.
Ответ: Графиком функции является дуга параболы $y = 4 - x^2$ с вершиной в точке $(0, 4)$, расположенная между выколотыми точками $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Дана функция $y = \sqrt{\ln \sin x}$.
1. Найдем ОДЗ. Существуют два условия:
а) Аргумент логарифма должен быть положителен: $\sin x > 0$.
б) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\ln \sin x \ge 0$.
Решим второе неравенство. Так как основание натурального логарифма $e > 1$, то оно равносильно неравенству $\sin x \ge e^0$, то есть $\sin x \ge 1$.
Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, единственное значение, удовлетворяющее неравенству $\sin x \ge 1$, это $\sin x = 1$. Это значение также удовлетворяет и первому условию $\sin x > 0$.
Уравнение $\sin x = 1$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, область определения функции — это дискретное множество точек.
2. Найдем значение функции в этих точках:
$y = \sqrt{\ln(1)} = \sqrt{0} = 0$.
3. График функции состоит из набора изолированных точек, лежащих на оси абсцисс. Координаты этих точек $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 0)$ для всех целых $n$.
Ответ: Графиком функции является бесконечное множество изолированных точек на оси абсцисс с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Дана функция $y = \sqrt{\log_5^2 x \cdot \log_x 5}$.
1. Найдем ОДЗ. Должны выполняться условия:
а) Для $\log_5 x$: $x > 0$.
б) Для $\log_x 5$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
в) Для квадратного корня: $\log_5^2 x \cdot \log_x 5 \ge 0$.
2. Упростим выражение под корнем. Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_x 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 x} = \frac{1}{\log_5 x}$. Эта формула верна при $x > 0, x \neq 1$.
Подставим это в неравенство из условия (в):
$\log_5^2 x \cdot \frac{1}{\log_5 x} \ge 0$.
После сокращения (возможно, так как $x \neq 1$ и, следовательно, $\log_5 x \neq 0$) получаем:
$\log_5 x \ge 0$.
Так как основание логарифма $5 > 1$, это неравенство равносильно $x \ge 1$.
Объединяем все условия для ОДЗ: $(x > 0 \text{ и } x \neq 1) \text{ и } (x \ge 1)$. Получаем $x > 1$.
ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.
3. Упростим саму функцию на её области определения. Выражение под корнем, как мы выяснили, равно $\log_5 x$.
Следовательно, $y = \sqrt{\log_5 x}$.
4. График функции $y = \sqrt{\log_5 x}$ определён для $x > 1$. Он начинается в точке $(1, 0)$, которая является выколотой. Функция возрастает при увеличении $x$. Например, при $x=5$, $y=\sqrt{\log_5 5} = \sqrt{1} = 1$. При $x=25$, $y=\sqrt{\log_5 25} = \sqrt{2}$. График представляет собой кривую, которая медленно поднимается вверх вправо.
Ответ: Графиком функции является кривая $y = \sqrt{\log_5 x}$, определённая при $x > 1$. График начинается в выколотой точке $(1, 0)$ и является медленно возрастающей кривой, проходящей, например, через точку $(5, 1)$.