Страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

332. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_2 = 108$, $b_4 = 48$.

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Сумма существует только при условии $|q| < 1$.

По условию задачи нам известны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 108$ и $b_4 = 48$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя эту формулу, запишем выражения для $b_2$ и $b_4$:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 108$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 48$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $q$. Чтобы найти $q$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = \frac{48}{108}$

После сокращения $b_1$ и $q$ в левой части, получаем:

$q^2 = \frac{48}{108}$

Сократим дробь $\frac{48}{108}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 12:

$q^2 = \frac{48 \div 12}{108 \div 12} = \frac{4}{9}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $q$:

$q_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ и $q_2 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$

Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, следовательно, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{2}{3}$

Найдем первый член $b_1$, используя уравнение $b_1 \cdot q = 108$:

$b_1 \cdot \frac{2}{3} = 108$

$b_1 = 108 \cdot \frac{3}{2} = 54 \cdot 3 = 162$

Теперь вычислим сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{162}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{162}{\frac{1}{3}} = 162 \cdot 3 = 486$

Случай 2: $q = -\frac{2}{3}$

Найдем первый член $b_1$ для этого значения $q$:

$b_1 \cdot (-\frac{2}{3}) = 108$

$b_1 = 108 \cdot (-\frac{3}{2}) = 54 \cdot (-3) = -162$

Вычислим соответствующую сумму прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-162}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{-162}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-162}{\frac{5}{3}} = -162 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{486}{5} = -97.2$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 486 или -97,2.

333. Произведение трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равно -64. Найдите второй член этой прогрессии.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2$ и $b_3$, а знаменатель прогрессии равен $q$.

Члены геометрической прогрессии можно выразить через второй член $b_2$ и знаменатель $q$. Такой способ удобен для задач, в которых дано произведение членов.
Первый член: $b_1 = \frac{b_2}{q}$
Второй член: $b_2$
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q$

По условию задачи, произведение этих трёх чисел равно –64. Составим уравнение:$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = -64$

Подставим в уравнение выражения для $b_1$ и $b_3$:$(\frac{b_2}{q}) \cdot b_2 \cdot (b_2 \cdot q) = -64$

Упростим левую часть уравнения. Знаменатель $q$ и множитель $q$ взаимно сокращаются:$b_2 \cdot b_2 \cdot b_2 = -64$
$b_2^3 = -64$

Чтобы найти значение второго члена $b_2$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:$b_2 = \sqrt[3]{-64}$

Так как $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$, то корень уравнения равен -4.$b_2 = -4$

Следовательно, второй член этой геометрической прогрессии равен -4.

Ответ: -4

334. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $cos x = a - 2;$

2) $sin x = 2a - a^2 - 2?$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синус и косинус. Область значений этих функций — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ справедливы неравенства:

$-1 \le \cos x \le 1$

$-1 \le \sin x \le 1$

Равенство будет возможно только в том случае, если правая часть уравнения принадлежит этому отрезку.

1) $\cos x = a - 2$

Исходя из области значений функции косинус, равенство возможно тогда и только тогда, когда выражение $a - 2$ принимает значения от -1 до 1 включительно. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-1 \le a - 2 \le 1$

Чтобы найти значения $a$, прибавим 2 ко всем трем частям этого неравенства:

$-1 + 2 \le a - 2 + 2 \le 1 + 2$

Выполнив сложение, получаем:

$1 \le a \le 3$

Следовательно, данное равенство возможно при всех значениях $a$, принадлежащих отрезку $[1, 3]$.

Ответ: $a \in [1, 3]$.

2) $\sin x = 2a - a^2 - 2$

Аналогично первому пункту, данное равенство возможно, если правая часть принадлежит отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$

Рассмотрим выражение в середине неравенства: $f(a) = 2a - a^2 - 2$. Преобразуем его, выделив полный квадрат:

$2a - a^2 - 2 = -(a^2 - 2a + 2) = -(a^2 - 2a + 1 + 1) = -((a - 1)^2 + 1) = -(a-1)^2 - 1$

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a-1)^2 \ge 0$.

Тогда $-(a-1)^2 \le 0$.

Следовательно, $-(a-1)^2 - 1 \le -1$.

Это означает, что выражение $2a - a^2 - 2$ принимает значения, не превосходящие -1. Максимальное значение, равное -1, достигается тогда, когда $(a-1)^2 = 0$, то есть при $a=1$.

Вернемся к нашему двойному неравенству:

$-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$

Мы выяснили, что $2a - a^2 - 2 \le -1$. Таким образом, чтобы неравенство выполнялось, выражение $2a - a^2 - 2$ должно быть одновременно и меньше или равно -1, и больше или равно -1. Единственная возможность для этого — это равенство:

$2a - a^2 - 2 = -1$

Как мы уже установили, это равенство достигается только при одном значении $a$.

$a=1$

При $a=1$ исходное уравнение принимает вид $\sin x = -1$, что является возможным.

Ответ: $a = 1$.

335. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 - 4\cos\alpha$;

2) $6 + \sin^2 \alpha$;

3) $\frac{\sin \alpha(5 + \cos \alpha)}{\sin \alpha}$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $1 - 4\cos\alpha$ воспользуемся тем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$.

То есть, для любого угла $\alpha$ справедливо двойное неравенство: $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-4$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-4) \ge -4\cos\alpha \ge 1 \cdot (-4)$

$4 \ge -4\cos\alpha \ge -4$

Запишем в привычном виде:

$-4 \le -4\cos\alpha \le 4$

Теперь прибавим ко всем частям неравенства 1:

$-4 + 1 \le 1 - 4\cos\alpha \le 4 + 1$

$-3 \le 1 - 4\cos\alpha \le 5$

Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-3$ (достигается при $\cos\alpha=1$), а наибольшее значение равно $5$ (достигается при $\cos\alpha=-1$).

Ответ: наименьшее значение: $-3$; наибольшее значение: $5$.

2) Рассмотрим выражение $6 + \sin^2\alpha$.

Известно, что значения функции синус лежат в отрезке $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin\alpha \le 1$

Возводя в квадрат, получаем значения для $\sin^2\alpha$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, а максимальное значение модуля синуса равно 1, то:

$0 \le \sin^2\alpha \le 1$

Теперь прибавим ко всем частям этого неравенства 6:

$0 + 6 \le 6 + \sin^2\alpha \le 1 + 6$

$6 \le 6 + \sin^2\alpha \le 7$

Следовательно, наименьшее значение выражения равно $6$ (достигается при $\sin^2\alpha=0$, т.е. $\sin\alpha=0$), а наибольшее значение равно $7$ (достигается при $\sin^2\alpha=1$, т.е. $\sin\alpha=\pm1$).

Ответ: наименьшее значение: $6$; наибольшее значение: $7$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{\sin\alpha(5 + \cos\alpha)}{\sin\alpha}$.

Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin\alpha \ne 0$. Это означает, что $\alpha \ne \pi k$, где $k$ — любое целое число.

При условии $\sin\alpha \ne 0$ мы можем сократить дробь:

$\frac{\sin\alpha(5 + \cos\alpha)}{\sin\alpha} = 5 + \cos\alpha$

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения $5 + \cos\alpha$ с учетом ограничения $\sin\alpha \ne 0$.

Если $\sin\alpha = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha = 1$, то есть $\cos\alpha = 1$ или $\cos\alpha = -1$.

Поскольку по области допустимых значений $\sin\alpha \ne 0$, то значения $\cos\alpha = 1$ и $\cos\alpha = -1$ исключаются.

Таким образом, для $\cos\alpha$ справедливо строгое неравенство:

$-1 < \cos\alpha < 1$

Прибавим ко всем частям неравенства 5:

$-1 + 5 < 5 + \cos\alpha < 1 + 5$

$4 < 5 + \cos\alpha < 6$

Полученное строгое неравенство показывает, что значение выражения больше 4 и меньше 6, но никогда не достигает этих граничных значений. Следовательно, у данного выражения нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.

336. Сравните:

1) $tg 140^\circ$ и $tg (-140^\circ);$

2) $cos 50^\circ$ и $sin 350^\circ;$

3) $ctg \frac{6\pi}{5}$ и $cos \frac{5\pi}{7};$

4) $cos 5$ и $sin 4.$

1) tg 140° и tg(-140°)

Для сравнения значений тригонометрических функций определим, в каких координатных четвертях находятся углы и какие знаки имеют функции в этих четвертях.

Угол $140^\circ$ находится во второй четверти (так как $90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$). Тангенс во второй четверти отрицателен, следовательно, $\text{tg } 140^\circ < 0$.

Рассмотрим $\text{tg}(-140^\circ)$. Функция тангенса является нечетной, то есть $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. Следовательно, $\text{tg}(-140^\circ) = -\text{tg}(140^\circ)$. Поскольку мы уже определили, что $\text{tg } 140^\circ$ — отрицательное число, то $-\text{tg}(140^\circ)$ будет положительным числом.

Другой способ: угол $-140^\circ$ находится в третьей четверти (так как $-180^\circ < -140^\circ < -90^\circ$). Тангенс в третьей четверти положителен, значит, $\text{tg}(-140^\circ) > 0$.

Сравнивая отрицательное число ($\text{tg } 140^\circ$) и положительное число ($\text{tg}(-140^\circ)$), получаем, что отрицательное число всегда меньше положительного.

Таким образом, $\text{tg } 140^\circ < \text{tg}(-140^\circ)$.

Ответ: $\text{tg } 140^\circ < \text{tg}(-140^\circ)$.

2) cos 50° и sin 350°

Определим знаки данных тригонометрических функций.

Угол $50^\circ$ находится в первой четверти (так как $0^\circ < 50^\circ < 90^\circ$). Косинус в первой четверти положителен, следовательно, $\cos 50^\circ > 0$.

Угол $350^\circ$ находится в четвертой четверти (так как $270^\circ < 350^\circ < 360^\circ$). Синус в четвертой четверти отрицателен, следовательно, $\sin 350^\circ < 0$.

Сравнивая положительное число ($\cos 50^\circ$) и отрицательное число ($\sin 350^\circ$), приходим к выводу, что положительное число всегда больше отрицательного.

Таким образом, $\cos 50^\circ > \sin 350^\circ$.

Ответ: $\cos 50^\circ > \sin 350^\circ$.

3) ctg $\frac{6\pi}{5}$ и cos $\frac{5\pi}{7}$

Определим, в каких координатных четвертях находятся углы, заданные в радианах.

Рассмотрим угол $\frac{6\pi}{5}$. Мы можем представить его как $\frac{6\pi}{5} = \pi + \frac{\pi}{5}$. Так как $\pi < \pi + \frac{\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$, этот угол находится в третьей четверти. Котангенс в третьей четверти положителен, значит, $\text{ctg} \frac{6\pi}{5} > 0$.

Рассмотрим угол $\frac{5\pi}{7}$. Мы знаем, что $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$ и $\pi = \frac{7\pi}{7}$. Так как $\frac{3.5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$, этот угол находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, значит, $\cos \frac{5\pi}{7} < 0$.

Сравниваем положительное число ($\text{ctg} \frac{6\pi}{5}$) и отрицательное число ($\cos \frac{5\pi}{7}$).

Таким образом, $\text{ctg} \frac{6\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{7}$.

Ответ: $\text{ctg} \frac{6\pi}{5} > \cos \frac{5\pi}{7}$.

4) cos 5 и sin 4

В данном случае углы 5 и 4 заданы в радианах. Для определения их положения на тригонометрической окружности используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$
$\pi \approx 3.14$
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71$
$2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$

Определим положение угла 5 радиан. Так как $4.71 < 5 < 6.28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, угол 5 радиан находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен, следовательно, $\cos 5 > 0$.

Определим положение угла 4 радиана. Так как $3.14 < 4 < 4.71$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол 4 радиана находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен, следовательно, $\sin 4 < 0$.

Сравниваем положительное число ($\cos 5$) и отрицательное число ($\sin 4$).

Таким образом, $\cos 5 > \sin 4$.

Ответ: $\cos 5 > \sin 4$.

337. Является ли чётной либо нечётной функция, заданная формулой:

1) $f(x) = 2x + \sin x$;

2) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$;

3) $f(x) = \frac{x^4 \cos x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}$;

4) $f(x) = \frac{\cos x}{x^3 - 1}$;

5) $f(x) = \operatorname{tg} x + x^2$;

6) $f(x) = \frac{(2 - x)\cos x}{2 - x}$?

Для определения чётности или нечётности функции $f(x)$ необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств для всех $x \in D(f)$:
- $f(-x) = f(x)$ — функция чётная.
- $f(-x) = -f(x)$ — функция нечётная.
Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = 2x + \sin x$

1. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), она симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x) + \sin(-x)$
Используя свойства функции синус $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:
$f(-x) = -2x - \sin x = -(2x + \sin x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

2) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 1$. Также котангенс не определён в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pm 1, x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2 - 1}$
Используя свойства функций $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ и $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$f(-x) = \frac{-\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1} = - \frac{\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

3) $f(x) = \frac{x^4 \cos x}{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}$

1. Найдём область определения. Тангенс не определён при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, котангенс не определён при $x = \pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$). Знаменатель $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$ не должен быть равен нулю.
Упростим знаменатель: $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$.
Знаменатель не определён, если $\sin(2x)=0$, то есть $2x=\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$ является симметричной относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^4 \cos(-x)}{\operatorname{tg}(-x) + \operatorname{ctg}(-x)}$
Используя свойства функций: $(-x)^4 = x^4$ (чётная степень), $\cos(-x) = \cos x$ (чётная функция), $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ (нечётная функция), $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ (нечётная функция).
$f(-x) = \frac{x^4 \cos x}{-\operatorname{tg} x - \operatorname{ctg} x} = \frac{x^4 \cos x}{-(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x)} = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

4) $f(x) = \frac{\cos x}{x^3 - 1}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 1 \neq 0$, то есть $x^3 \neq 1$, что означает $x \neq 1$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1\}$.
Эта область не является симметричной относительно нуля, так как точка $x = -1$ принадлежит области определения, а точка $x = 1$ — не принадлежит.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

5) $f(x) = \operatorname{tg} x + x^2$

1. Найдём область определения. Функция $\operatorname{tg} x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + (-x)^2 = -\operatorname{tg} x + x^2$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -\operatorname{tg} x + x^2 \neq f(x) = \operatorname{tg} x + x^2$ (равенство выполняется только при $\operatorname{tg} x = 0$, а не для всех $x$ из области определения).
$f(-x) = -\operatorname{tg} x + x^2 \neq -f(x) = -(\operatorname{tg} x + x^2) = -\operatorname{tg} x - x^2$ (равенство выполняется только при $x = 0$, а не для всех $x$ из области определения).
Функция представляет собой сумму нечётной функции ($\operatorname{tg} x$) и чётной функции ($x^2$), что делает её функцией общего вида.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

6) $f(x) = \frac{(2 - x) \cos x}{2 - x}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 2\}$.
Эта область не является симметричной относительно нуля, так как точка $x = -2$ принадлежит области определения, а точка $x = 2$ — не принадлежит.
Хотя при $x \neq 2$ функцию можно упростить до $f(x) = \cos x$, её область определения остаётся несимметричной.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

338. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + 1;$

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right);$

3) $y = 1.5\sin x;$

4) $y = \cos \frac{x}{3};$

5) $y = 2\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1;$

6) $y = -\frac{1}{2}\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2.$

1) $y = \sin x + 1$

Для построения графика этой функции необходимо взять за основу график стандартной функции $y = \sin x$ и выполнить его преобразование. Заданная функция имеет вид $y = f(x) + D$, где $f(x) = \sin x$ и $D = 1$. Это означает, что нужно выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика основной функции вверх.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \sin x$. Это синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1, проходящая через начало координат. Область значений этой функции — отрезок $[-1, 1]$.
2. Сдвигаем построенный график на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переходит в точку $(x, y+1)$. Например, ключевые точки $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходят в точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 2)$, $(\pi, 1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ соответственно.

В результате мы получаем искомый график. Период и амплитуда не изменились ($T=2\pi$, амплитуда=1), а область значений сместилась на 1 вверх и стала $[0, 2]$.

Ответ: График функции $y = \sin x + 1$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

2) $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$

Основой для построения является график функции $y = \cos x$. Заданная функция имеет вид $y = f(x - C)$, где $f(x) = \cos x$ и $C = -\frac{\pi}{6}$. Это означает, что нужно выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика основной функции по горизонтали. Поскольку $C$ отрицательно, сдвиг происходит влево.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \cos x$. Это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$. График проходит через точку $(0, 1)$.
2. Сдвигаем построенный график на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси абсцисс (Ox). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \cos x$ переходит в точку $(x - \frac{\pi}{6}, y)$. Например, ключевые точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ переходят в точки $(-\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{\pi}{3}, 0)$, $(\frac{5\pi}{6}, -1)$ соответственно.

В результате получаем искомый график. Период, амплитуда и область значений не изменились.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси Ox.

3) $y = 1.5\sin x$

Основой для построения является график функции $y = \sin x$. Заданная функция имеет вид $y = A \cdot f(x)$, где $f(x) = \sin x$ и $A = 1.5$. Это означает, что нужно выполнить растяжение графика основной функции от оси Ox.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \sin x$.
2. Растягиваем построенный график в 1.5 раза от оси абсцисс (Ox). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переходит в точку $(x, 1.5y)$. Ординаты всех точек графика умножаются на 1.5. Например, точки максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходят в $(\frac{\pi}{2}, 1.5)$, а точки минимума $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ переходят в $(\frac{3\pi}{2}, -1.5)$. Точки пересечения с осью Ox остаются на месте.

В результате получаем искомый график. Период не изменился ($T=2\pi$), а амплитуда увеличилась до 1.5, и область значений стала $[-1.5, 1.5]$.

Ответ: График функции $y = 1.5\sin x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его растяжения в 1.5 раза от оси Ox.

4) $y = \cos \frac{x}{3}$

Основой для построения является график функции $y = \cos x$. Заданную функцию можно представить в виде $y = f(Bx)$, где $f(x) = \cos x$ и $B = \frac{1}{3}$. Это означает, что нужно выполнить растяжение графика основной функции вдоль оси Ox.

Построение происходит следующим образом:
1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Растягиваем построенный график в 3 раза ($\frac{1}{B} = \frac{1}{1/3} = 3$) от оси ординат (Oy). Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \cos x$ переходит в точку $(3x, y)$. Абсциссы всех точек графика умножаются на 3.

В результате этого преобразования период функции увеличивается в 3 раза и становится $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$. Амплитуда и область значений остаются прежними. Например, первый максимум после точки $(0,1)$ будет в точке $(2\pi \cdot 3, 1) = (6\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{3}$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его растяжения в 3 раза от оси Oy (вдоль оси Ox).

5) $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) - 1$

Для построения этого графика, за основу берется график $y = \sin x$ и выполняется последовательность преобразований:

1. Растяжение по вертикали: Строим график $y = 2\sin x$. Это график $y = \sin x$, растянутый в 2 раза от оси Ox. Амплитуда становится равной 2, область значений — $[-2, 2]$.
2. Сдвиг по горизонтали: Строим график $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$. Для этого график $y = 2\sin x$ сдвигается на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.
3. Сдвиг по вертикали: Строим итоговый график $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) - 1$. Для этого график $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ сдвигается на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

В результате всех преобразований, период функции остался $T=2\pi$. Амплитуда равна 2. Область значений стала $[-2-1, 2-1]$, то есть $[-3, 1]$. График колеблется вокруг прямой $y = -1$.

Ответ: График функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) - 1$ получается из графика $y = \sin x$ последовательным применением трех преобразований: растяжение в 2 раза от оси Ox, сдвиг на $\frac{\pi}{4}$ вправо и сдвиг на 1 вниз.

6) $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$

Для построения этого графика, за основу берется график $y = \cos x$ и выполняется последовательность преобразований:

1. Сжатие и отражение: Строим график $y = -\frac{1}{2}\cos x$. Для этого график $y = \cos x$ сжимается к оси Ox в 2 раза (амплитуда становится $\frac{1}{2}$), а затем отражается относительно оси Ox из-за знака "минус". Область значений становится $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
2. Сдвиг по горизонтали: Строим график $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3})$. Для этого график $y = -\frac{1}{2}\cos x$ сдвигается на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox.
3. Сдвиг по вертикали: Строим итоговый график $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$. Для этого график $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3})$ сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

В результате всех преобразований, период функции остался $T=2\pi$. Амплитуда равна $\frac{1}{2}$. Область значений стала $[-\frac{1}{2}+2, \frac{1}{2}+2]$, то есть $[1.5, 2.5]$. График колеблется вокруг прямой $y = 2$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{3}) + 2$ получается из графика $y = \cos x$ последовательным применением преобразований: сжатие к оси Ox в 2 раза, отражение относительно оси Ox, сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ влево и сдвиг на 2 вверх.

339. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\cos 2x})^2$;

2) $y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} |x|$;

3) $y = \sqrt{\sin^2 x - \sin x}$;

4) $y = \frac{\operatorname{ctg} |x|}{\operatorname{ctg} x}$.

1) $y = (\sqrt{\cos 2x})^2$

Первым шагом найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\cos 2x \ge 0$
Это неравенство выполняется для $2x$, принадлежащих отрезкам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив на 2, получаем область определения для $x$:
$x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На этой области определения функция упрощается:
$y = (\sqrt{\cos 2x})^2 = \cos 2x$.
Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \cos 2x$ только на тех интервалах, где она определена.
График функции $y = \cos 2x$ — это косинусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Мы строим только те части графика (арки), которые находятся выше или на оси абсцисс. Части графика, где $\cos 2x < 0$, не входят в область определения.
Примеры интервалов, на которых существует график:
- при $n=0$: $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$;
- при $n=1$: $[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$;
- при $n=-1$: $[-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность арок косинусоиды $y = \cos 2x$, расположенных на отрезках $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}|x|$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}\,x = 0$.
Область определения для этого случая: $x \ge 0$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n = 0, 1, 2, ...$.
Таким образом, для всех неотрицательных $x$, кроме точек, где тангенс не определен, график функции совпадает с осью абсцисс. Это луч, начинающийся в точке $(0,0)$ и идущий вправо вдоль оси Ox, с выколотыми точками $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$.
Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}(-x)$.
Так как тангенс — нечетная функция ($\mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}\,x$), получаем:
$y = \mathrm{tg}\,x - (-\mathrm{tg}\,x) = \mathrm{tg}\,x + \mathrm{tg}\,x = 2\mathrm{tg}\,x$.
Область определения для этого случая: $x < 0$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k = -1, -2, -3, ...$.
Таким образом, для всех отрицательных $x$, кроме точек, где тангенс не определен, график функции совпадает с графиком $y = 2\mathrm{tg}\,x$. Это график тангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси ординат.

Ответ: График функции состоит из двух частей:
1. Для $x \ge 0$ — луч $y=0$, выходящий из начала координат, с выколотыми точками $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.
2. Для $x < 0$ — график функции $y = 2\mathrm{tg}\,x$ с вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}, k < 0$.

3) $y = \sqrt{\sin^2 x - \sin x}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin^2 x - \sin x \ge 0$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$. Получим неравенство:
$t^2 - t \ge 0 \implies t(t-1) \ge 0$.
Решения этого неравенства: $t \le 0$ или $t \ge 1$.
Возвращаемся к замене:
1. $\sin x \ge 1$. Так как максимальное значение синуса равно 1, это равносильно уравнению $\sin x = 1$. Решением являются точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках $y = \sqrt{1^2 - 1} = 0$.
2. $\sin x \le 0$. Это неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит III и IV координатным четвертям, то есть для $x \in [\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Итак, область определения функции — это объединение изолированных точек $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и отрезков $[\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1)]$.
Построим график.
- В точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ имеем $y=0$. Это изолированные точки на оси абсцисс.
- На отрезках $[\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1)]$ функция $y = \sqrt{\sin^2 x - \sin x}$ существует. Функция периодична с периодом $2\pi$. Рассмотрим отрезок $[\pi, 2\pi]$.
- При $x=\pi$: $\sin \pi = 0 \implies y = \sqrt{0-0} = 0$.
- При $x=2\pi$: $\sin 2\pi = 0 \implies y = \sqrt{0-0} = 0$.
- При $x=\frac{3\pi}{2}$: $\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \implies y = \sqrt{(-1)^2 - (-1)} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Это максимальное значение функции.

Ответ: График функции состоит из:
1. Изолированных точек вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Повторяющихся арок на отрезках $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Каждая арка начинается и заканчивается на оси абсцисс (в точках $x=\pi+2\pi n$ и $x=2\pi+2\pi n$) и достигает максимальной высоты $y=\sqrt{2}$ при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

4) $y = \frac{\mathrm{ctg}|x|}{\mathrm{ctg}\,x}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
Во-первых, знаменатель не должен быть равен нулю: $\mathrm{ctg}\,x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.
Во-вторых, функции котангенса должны быть определены. $\mathrm{ctg}\,x$ и $\mathrm{ctg}|x|$ определены, если их аргументы не равны $\pi n$ для любого $n \in \mathbb{Z}$. То есть $x \neq \pi n$.
Объединяя условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь упростим выражение для функции, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 0$
При $x > 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{\mathrm{ctg}\,x}{\mathrm{ctg}\,x} = 1$.
Это верно для всех $x > 0$ из области определения, т.е. $x \neq \frac{\pi n}{2}$ при $n=1, 2, 3, ...$.
Графиком является луч $y=1$ для $x>0$, с выколотыми точками $x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, ...$.
Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{\mathrm{ctg}(-x)}{\mathrm{ctg}\,x}$.
Так как котангенс — нечетная функция ($\mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}\,x$), получаем:
$y = \frac{-\mathrm{ctg}\,x}{\mathrm{ctg}\,x} = -1$.
Это верно для всех $x < 0$ из области определения, т.е. $x \neq \frac{\pi n}{2}$ при $n=-1, -2, -3, ...$.
Графиком является луч $y=-1$ для $x<0$, с выколотыми точками $x = -\frac{\pi}{2}, -\pi, -\frac{3\pi}{2}, ...$.

Ответ: График функции — это два луча с выколотыми точками:
1. Луч $y=1$ для $x > 0$ с выколотыми точками $x = \frac{\pi n}{2}$ ($n \in \mathbb{N}$).
2. Луч $y=-1$ для $x < 0$ с выколотыми точками $x = \frac{\pi n}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}, n < 0$).
В точке $x=0$ и в точках $x = \frac{\pi n}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}$) функция не определена.

340. Вычислите значения тригонометрических функций аргумента α, если:

1) $ \cos \alpha = -\frac{2}{7} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi; $

2) $ \operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi. $

1) Дано: $cos \alpha = -\frac{2}{7}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Условие $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($sin \alpha > 0$), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $sin \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$
$sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{49 - 4}{49} = \frac{45}{49}$
$sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{45}{49}} = \pm\frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{7} = \pm\frac{3\sqrt{5}}{7}$.
Поскольку $\alpha$ находится во второй четверти, $sin \alpha$ должен быть положительным, следовательно, $sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7}$.

2. Найдем $tg \alpha$ по определению: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$.
$tg \alpha = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{7}}{-\frac{2}{7}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

3. Найдем $ctg \alpha$ по определению: $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$ (или $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$).
$ctg \alpha = \frac{-\frac{2}{7}}{\frac{3\sqrt{5}}{7}} = -\frac{2}{3\sqrt{5}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$ctg \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = -\frac{2\sqrt{5}}{15}$.

Ответ: $sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7}$, $tg \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$, $ctg \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{15}$.

2) Дано: $tg \alpha = -\sqrt{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Условие $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ означает, что угол $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти. В четвертой четверти косинус положителен ($cos \alpha > 0$), а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

1. Найдем $ctg \alpha$, используя тождество $ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}$.
$ctg \alpha = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Найдем $cos \alpha$, используя тождество $1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha}$.
$cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (-\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$.
$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку $\alpha$ находится в четвертой четверти, $cos \alpha$ должен быть положительным, следовательно, $cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Найдем $sin \alpha$, используя определение тангенса $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$, откуда $sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha$.
$sin \alpha = (-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $sin \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, $cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

341. Упростите выражение:

1) $ctg x - \frac{\sin x}{1 - \cos x}$;

2) $\frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} + \frac{1 - \cos \varphi}{\sin \varphi}$;

3) $\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$;

4) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha}$.

1) Для упрощения выражения $ \ctg x - \frac{\sin x}{1 - \cos x} $ представим котангенс как отношение косинуса к синусу и приведем дроби к общему знаменателю.
$ \ctg x - \frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{1 - \cos x} $
Общий знаменатель будет $ \sin x (1 - \cos x) $.
$ = \frac{\cos x (1 - \cos x) - \sin x \cdot \sin x}{\sin x (1 - \cos x)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ = \frac{\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x (1 - \cos x)} $
Сгруппируем $ - \cos^2 x - \sin^2 x = -(\cos^2 x + \sin^2 x) $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получим:
$ = \frac{\cos x - 1}{\sin x (1 - \cos x)} $
Вынесем минус за скобки в числителе: $ \cos x - 1 = -(1 - \cos x) $.
$ = \frac{-(1 - \cos x)}{\sin x (1 - \cos x)} $
Сократим дробь на $ (1 - \cos x) $ (при условии, что $ 1 - \cos x \ne 0 $):
$ = -\frac{1}{\sin x} $
Ответ: $ -\frac{1}{\sin x} $

2) Для упрощения выражения $ \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} + \frac{1 - \cos\varphi}{\sin\varphi} $ приведем дроби к общему знаменателю $ \sin\varphi (1 + \cos\varphi) $.
$ \frac{\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} + \frac{1 - \cos\varphi}{\sin\varphi} = \frac{\sin\varphi \cdot \sin\varphi + (1 - \cos\varphi)(1 + \cos\varphi)}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} $
В числителе применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ = \frac{\sin^2\varphi + (1^2 - \cos^2\varphi)}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} = \frac{\sin^2\varphi + 1 - \cos^2\varphi}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 $ следует, что $ 1 - \cos^2\varphi = \sin^2\varphi $. Подставим это в числитель:
$ = \frac{\sin^2\varphi + \sin^2\varphi}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} = \frac{2\sin^2\varphi}{\sin\varphi (1 + \cos\varphi)} $
Сократим дробь на $ \sin\varphi $ (при условии, что $ \sin\varphi \ne 0 $):
$ = \frac{2\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} $
Ответ: $ \frac{2\sin\varphi}{1 + \cos\varphi} $

3) Для упрощения выражения $ \sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $ используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, из которого $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.
Заменим $ \cos^2 \alpha $ в исходном выражении:
$ \sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha + (1 - \sin^2 \alpha) $
Приведем подобные слагаемые:
$ = \sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 $
Полученное выражение является полным квадратом разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $, где $ a = \sin^2 \alpha $ и $ b = 1 $.
$ = (\sin^2 \alpha - 1)^2 $
Из основного тригонометрического тождества также следует, что $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $.
$ = (-\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha $
Ответ: $ \cos^4 \alpha $

4) Для упрощения выражения $ \frac{\tg\alpha}{\tg\alpha + \ctg\alpha} $ представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
$ \frac{\tg\alpha}{\tg\alpha + \ctg\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} $
Сначала упростим знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha $:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем:
$ = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $
Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:
$ \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1} $
Сократим $ \cos\alpha $:
$ = \sin\alpha \cdot \sin\alpha = \sin^2\alpha $
Ответ: $ \sin^2\alpha $