Номер 339, страница 244 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 339, страница 244.

339. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\cos 2x})^2$;

2) $y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} |x|$;

3) $y = \sqrt{\sin^2 x - \sin x}$;

4) $y = \frac{\operatorname{ctg} |x|}{\operatorname{ctg} x}$.

1) $y = (\sqrt{\cos 2x})^2$

Первым шагом найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\cos 2x \ge 0$
Это неравенство выполняется для $2x$, принадлежащих отрезкам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив на 2, получаем область определения для $x$:
$x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На этой области определения функция упрощается:
$y = (\sqrt{\cos 2x})^2 = \cos 2x$.
Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \cos 2x$ только на тех интервалах, где она определена.
График функции $y = \cos 2x$ — это косинусоида с амплитудой 1 и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Мы строим только те части графика (арки), которые находятся выше или на оси абсцисс. Части графика, где $\cos 2x < 0$, не входят в область определения.
Примеры интервалов, на которых существует график:
- при $n=0$: $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$;
- при $n=1$: $[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}]$;
- при $n=-1$: $[-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность арок косинусоиды $y = \cos 2x$, расположенных на отрезках $[-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}|x|$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.
Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}\,x = 0$.
Область определения для этого случая: $x \ge 0$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n = 0, 1, 2, ...$.
Таким образом, для всех неотрицательных $x$, кроме точек, где тангенс не определен, график функции совпадает с осью абсцисс. Это луч, начинающийся в точке $(0,0)$ и идущий вправо вдоль оси Ox, с выколотыми точками $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$.
Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \mathrm{tg}\,x - \mathrm{tg}(-x)$.
Так как тангенс — нечетная функция ($\mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}\,x$), получаем:
$y = \mathrm{tg}\,x - (-\mathrm{tg}\,x) = \mathrm{tg}\,x + \mathrm{tg}\,x = 2\mathrm{tg}\,x$.
Область определения для этого случая: $x < 0$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k = -1, -2, -3, ...$.
Таким образом, для всех отрицательных $x$, кроме точек, где тангенс не определен, график функции совпадает с графиком $y = 2\mathrm{tg}\,x$. Это график тангенса, растянутый в 2 раза вдоль оси ординат.

Ответ: График функции состоит из двух частей:
1. Для $x \ge 0$ — луч $y=0$, выходящий из начала координат, с выколотыми точками $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.
2. Для $x < 0$ — график функции $y = 2\mathrm{tg}\,x$ с вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}, k < 0$.

3) $y = \sqrt{\sin^2 x - \sin x}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin^2 x - \sin x \ge 0$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$. Получим неравенство:
$t^2 - t \ge 0 \implies t(t-1) \ge 0$.
Решения этого неравенства: $t \le 0$ или $t \ge 1$.
Возвращаемся к замене:
1. $\sin x \ge 1$. Так как максимальное значение синуса равно 1, это равносильно уравнению $\sin x = 1$. Решением являются точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках $y = \sqrt{1^2 - 1} = 0$.
2. $\sin x \le 0$. Это неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит III и IV координатным четвертям, то есть для $x \in [\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Итак, область определения функции — это объединение изолированных точек $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и отрезков $[\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1)]$.
Построим график.
- В точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ имеем $y=0$. Это изолированные точки на оси абсцисс.
- На отрезках $[\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1)]$ функция $y = \sqrt{\sin^2 x - \sin x}$ существует. Функция периодична с периодом $2\pi$. Рассмотрим отрезок $[\pi, 2\pi]$.
- При $x=\pi$: $\sin \pi = 0 \implies y = \sqrt{0-0} = 0$.
- При $x=2\pi$: $\sin 2\pi = 0 \implies y = \sqrt{0-0} = 0$.
- При $x=\frac{3\pi}{2}$: $\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \implies y = \sqrt{(-1)^2 - (-1)} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Это максимальное значение функции.

Ответ: График функции состоит из:
1. Изолированных точек вида $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Повторяющихся арок на отрезках $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Каждая арка начинается и заканчивается на оси абсцисс (в точках $x=\pi+2\pi n$ и $x=2\pi+2\pi n$) и достигает максимальной высоты $y=\sqrt{2}$ при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.

4) $y = \frac{\mathrm{ctg}|x|}{\mathrm{ctg}\,x}$

Найдем область определения функции (ОДЗ).
Во-первых, знаменатель не должен быть равен нулю: $\mathrm{ctg}\,x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.
Во-вторых, функции котангенса должны быть определены. $\mathrm{ctg}\,x$ и $\mathrm{ctg}|x|$ определены, если их аргументы не равны $\pi n$ для любого $n \in \mathbb{Z}$. То есть $x \neq \pi n$.
Объединяя условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь упростим выражение для функции, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 0$
При $x > 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{\mathrm{ctg}\,x}{\mathrm{ctg}\,x} = 1$.
Это верно для всех $x > 0$ из области определения, т.е. $x \neq \frac{\pi n}{2}$ при $n=1, 2, 3, ...$.
Графиком является луч $y=1$ для $x>0$, с выколотыми точками $x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, ...$.
Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{\mathrm{ctg}(-x)}{\mathrm{ctg}\,x}$.
Так как котангенс — нечетная функция ($\mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}\,x$), получаем:
$y = \frac{-\mathrm{ctg}\,x}{\mathrm{ctg}\,x} = -1$.
Это верно для всех $x < 0$ из области определения, т.е. $x \neq \frac{\pi n}{2}$ при $n=-1, -2, -3, ...$.
Графиком является луч $y=-1$ для $x<0$, с выколотыми точками $x = -\frac{\pi}{2}, -\pi, -\frac{3\pi}{2}, ...$.

Ответ: График функции — это два луча с выколотыми точками:
1. Луч $y=1$ для $x > 0$ с выколотыми точками $x = \frac{\pi n}{2}$ ($n \in \mathbb{N}$).
2. Луч $y=-1$ для $x < 0$ с выколотыми точками $x = \frac{\pi n}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}, n < 0$).
В точке $x=0$ и в точках $x = \frac{\pi n}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}$) функция не определена.