Номер 343, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 343, страница 245.
№343 (с. 245)
Учебник. №343 (с. 245)
скриншот условия

343. Упростите выражение:
1) $\sqrt{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2}} - \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}$, если $\pi < \alpha < 2\pi;$
2) $\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}}$, если $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.
Решение 2. №343 (с. 245)
1)
Дано выражение $\sqrt{1 - \cos^2\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{1 - \sin^2\frac{\alpha}{2}}$ и условие $\pi < \alpha < 2\pi$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.
Отсюда $1 - \cos^2\frac{\alpha}{2} = \sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}$
Используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Выражение принимает вид:
$|\sin\frac{\alpha}{2}| - |\cos\frac{\alpha}{2}|$
Теперь определим знаки $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$, используя заданный интервал для $\alpha$: $\pi < \alpha < 2\pi$.
Разделив неравенство на 2, получим интервал для $\frac{\alpha}{2}$:
$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi$
Этот интервал соответствует II четверти координатной плоскости. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Следовательно, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\cos\frac{\alpha}{2} < 0$.
Раскроем модули с учетом знаков:
$|\sin\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2}$
$|\cos\frac{\alpha}{2}| = -\cos\frac{\alpha}{2}$
Подставим раскрытые модули в выражение:
$\sin\frac{\alpha}{2} - (-\cos\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$
Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$
2)
Дано выражение $\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}}$ и условие $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.
Преобразуем каждое слагаемое по отдельности. Для этого умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное знаменателю выражение.
Первое слагаемое:
$\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)^2}{1 - \sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}} = \frac{|1 + \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$
Второе слагаемое:
$\sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}{(1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)^2}{1 - \sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}} = \frac{|1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$
Таким образом, исходное выражение равно:
$\frac{|1 + \sin\alpha|}{|\cos\alpha|} + \frac{|1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|} = \frac{|1 + \sin\alpha| + |1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$
Определим знаки выражений под модулем для интервала $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Этот интервал соответствует III четверти.
В III четверти:
$-1 < \sin\alpha < 0$
$-1 < \cos\alpha < 0$
Оценим знаки выражений в модулях:
$1 + \sin\alpha$: поскольку $-1 < \sin\alpha < 0$, то $0 < 1 + \sin\alpha < 1$. Значит, $1 + \sin\alpha > 0$.
$1 - \sin\alpha$: поскольку $-1 < \sin\alpha < 0$, то $0 < -\sin\alpha < 1$, и $1 < 1 - \sin\alpha < 2$. Значит, $1 - \sin\alpha > 0$.
$\cos\alpha < 0$.
Раскроем модули:
$|1 + \sin\alpha| = 1 + \sin\alpha$
$|1 - \sin\alpha| = 1 - \sin\alpha$
$|\cos\alpha| = -\cos\alpha$
Подставим в преобразованное выражение:
$\frac{(1 + \sin\alpha) + (1 - \sin\alpha)}{-\cos\alpha} = \frac{1 + \sin\alpha + 1 - \sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{2}{-\cos\alpha} = -\frac{2}{\cos\alpha}$
Ответ: $-\frac{2}{\cos\alpha}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 343 расположенного на странице 245 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №343 (с. 245), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.