Номер 343, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические функции - номер 343, страница 245.

Учебник.

343. Упростите выражение:

1) $\sqrt{1 - \cos^2 \frac{\alpha}{2}} - \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2}}$, если $\pi < \alpha < 2\pi;$

2) $\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}}$, если $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

Решение 2.

1)

Дано выражение $\sqrt{1 - \cos^2\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{1 - \sin^2\frac{\alpha}{2}}$ и условие $\pi < \alpha < 2\pi$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.
Отсюда $1 - \cos^2\frac{\alpha}{2} = \sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}} - \sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}$

Используем свойство корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Выражение принимает вид:
$|\sin\frac{\alpha}{2}| - |\cos\frac{\alpha}{2}|$

Теперь определим знаки $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$, используя заданный интервал для $\alpha$: $\pi < \alpha < 2\pi$.

Разделив неравенство на 2, получим интервал для $\frac{\alpha}{2}$:
$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \pi$

Этот интервал соответствует II четверти координатной плоскости. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Следовательно, $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$ и $\cos\frac{\alpha}{2} < 0$.

Раскроем модули с учетом знаков:
$|\sin\frac{\alpha}{2}| = \sin\frac{\alpha}{2}$
$|\cos\frac{\alpha}{2}| = -\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставим раскрытые модули в выражение:
$\sin\frac{\alpha}{2} - (-\cos\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}$

2)

Дано выражение $\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}}$ и условие $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности. Для этого умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на сопряженное знаменателю выражение.

Первое слагаемое:
$\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)^2}{1 - \sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}} = \frac{|1 + \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$

Второе слагаемое:
$\sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}{(1 + \sin\alpha)(1 - \sin\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)^2}{1 - \sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}} = \frac{|1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$

Таким образом, исходное выражение равно:
$\frac{|1 + \sin\alpha|}{|\cos\alpha|} + \frac{|1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|} = \frac{|1 + \sin\alpha| + |1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|}$

Определим знаки выражений под модулем для интервала $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Этот интервал соответствует III четверти.

В III четверти:
$-1 < \sin\alpha < 0$
$-1 < \cos\alpha < 0$

Оценим знаки выражений в модулях:
$1 + \sin\alpha$: поскольку $-1 < \sin\alpha < 0$, то $0 < 1 + \sin\alpha < 1$. Значит, $1 + \sin\alpha > 0$.
$1 - \sin\alpha$: поскольку $-1 < \sin\alpha < 0$, то $0 < -\sin\alpha < 1$, и $1 < 1 - \sin\alpha < 2$. Значит, $1 - \sin\alpha > 0$.
$\cos\alpha < 0$.

Раскроем модули:
$|1 + \sin\alpha| = 1 + \sin\alpha$
$|1 - \sin\alpha| = 1 - \sin\alpha$
$|\cos\alpha| = -\cos\alpha$

Подставим в преобразованное выражение:
$\frac{(1 + \sin\alpha) + (1 - \sin\alpha)}{-\cos\alpha} = \frac{1 + \sin\alpha + 1 - \sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{2}{-\cos\alpha} = -\frac{2}{\cos\alpha}$

Ответ: $-\frac{2}{\cos\alpha}$