Номер 349, страница 245 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 349, страница 245.

349. Докажите тождество:

1) $\text{tg } 2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = 0;$

2) $\frac{1 + \cos \alpha + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha + \sin \alpha} = \text{ctg } \frac{\alpha}{2}.$

1) Докажем тождество $ \text{tg}\,2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = 0 $.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $ \cos 2\alpha \ne 0 $, так как тангенс не определен, когда его косинус равен нулю.

Используем следующие тригонометрические формулы:
1. Определение тангенса: $ \text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
2. Формула косинуса двойного угла в виде $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $, из которой следует $ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $. Применив её для $ x = 2\alpha $, получаем $ 1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha $.
3. Формула синуса двойного угла: $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Применив её для $ x = 2\alpha $, получаем $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $.

Подставим эти формулы в левую часть исходного выражения:
$ \text{tg}\,2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot (2\cos^2 2\alpha) - \sin 4\alpha $

Сократим $ \cos 2\alpha $ в первом слагаемом (это возможно в рамках ОДЗ):
$ \sin 2\alpha \cdot 2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha $

Теперь применим формулу синуса двойного угла к выражению $ 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:
$ 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $

Подставим полученный результат обратно:
$ \sin 4\alpha - \sin 4\alpha = 0 $

Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \text{tg}\,2\alpha(1 + \cos 4\alpha) - \sin 4\alpha = 0 $ доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{1 + \cos\alpha + \sin\alpha}{1 - \cos\alpha + \sin\alpha} = \text{ctg}\,\frac{\alpha}{2} $.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений определяется условиями: знаменатель дроби не равен нулю ($ 1 - \cos\alpha + \sin\alpha \ne 0 $) и $ \sin(\alpha/2) \ne 0 $ (для существования котангенса).

Используем формулы двойного угла для $ \alpha $, выражая тригонометрические функции через аргумент $ \frac{\alpha}{2} $:
1. $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $
2. $ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} $ (из $ \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1 $)
3. $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $ (из $ \cos\alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $)

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби в левой части:
$ \frac{(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha}{(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha} = \frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
В числителе выносим $ 2\cos\frac{\alpha}{2} $: $ 2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}) $
В знаменателе выносим $ 2\sin\frac{\alpha}{2} $: $ 2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) $

Получаем выражение:
$ \frac{2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})}{2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})} $

Сократим общий множитель $ 2(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}) $. Это возможно, если $ \cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \ne 0 $, что исключает из ОДЗ значения $ \alpha $, при которых знаменатель исходной дроби обращается в ноль.
После сокращения остается:
$ \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} $

По определению котангенса, $ \frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg}\,x $. Следовательно:
$ \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \text{ctg}\,\frac{\alpha}{2} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество $ \frac{1 + \cos\alpha + \sin\alpha}{1 - \cos\alpha + \sin\alpha} = \text{ctg}\,\frac{\alpha}{2} $ доказано.