Номер 351, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 351, страница 246.

351. Докажите тождество:

1) $\sin 3\alpha - \sin \alpha + \sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 4 \sin \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha;$

2) $\frac{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha - \sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha.$

1) Докажем тождество $ \sin 3\alpha - \sin \alpha + \sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 4 \sin \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые:

$ (\sin 7\alpha - \sin 5\alpha) + (\sin 3\alpha - \sin \alpha) $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

Применим эту формулу к каждой группе слагаемых:

$ \sin 7\alpha - \sin 5\alpha = 2 \cos\left(\frac{7\alpha+5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}\right) = 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha) $

$ \sin 3\alpha - \sin \alpha = 2 \cos\left(\frac{3\alpha+\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{3\alpha-\alpha}{2}\right) = 2 \cos(2\alpha) \sin(\alpha) $

Подставим полученные выражения обратно в левую часть тождества:

$ 2 \cos(6\alpha) \sin(\alpha) + 2 \cos(2\alpha) \sin(\alpha) $

Вынесем общий множитель $ 2 \sin(\alpha) $ за скобки:

$ 2 \sin(\alpha) (\cos(6\alpha) + \cos(2\alpha)) $

Теперь применим формулу суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

$ \cos(6\alpha) + \cos(2\alpha) = 2 \cos\left(\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{6\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \cos(4\alpha) \cos(2\alpha) $

Подставим это в наше выражение:

$ 2 \sin(\alpha) \cdot (2 \cos(4\alpha) \cos(2\alpha)) = 4 \sin\alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha $

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha - \sin 2\alpha} = \cot 2\alpha $.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части.

Числитель: $ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha $.

К первым двум слагаемым применим формулу суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

$ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\left(\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{6\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \sin(4\alpha) \cos(2\alpha) $

Тогда числитель примет вид:

$ 2 \sin(4\alpha) \cos(2\alpha) - \cos 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ \cos 2\alpha $ за скобки:

$ \cos 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1) $

Знаменатель: $ \cos 2\alpha - \cos 6\alpha - \sin 2\alpha $.

К первым двум слагаемым применим формулу разности косинусов: $ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.

$ \cos 2\alpha - \cos 6\alpha = -2 \sin\left(\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha-6\alpha}{2}\right) = -2 \sin(4\alpha) \sin(-2\alpha) $

Так как $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:

$ -2 \sin(4\alpha) (-\sin(2\alpha)) = 2 \sin 4\alpha \sin 2\alpha $

Тогда знаменатель примет вид:

$ 2 \sin 4\alpha \sin 2\alpha - \sin 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ \sin 2\alpha $ за скобки:

$ \sin 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1) $

Теперь составим дробь из преобразованных числителя и знаменателя:

$ \frac{\cos 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1)}{\sin 2\alpha (2 \sin 4\alpha - 1)} $

Сократим общий множитель $ (2 \sin 4\alpha - 1) $, при условии, что он не равен нулю:

$ \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \cot 2\alpha $

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.