Номер 355, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 355, страница 246.

355. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin (x - 5);$

2) $y = \arccos (x^2 - 3);$

3) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{6 - x}.$

1) $y = \arcsin(x - 5)$

Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(u)$, задается условием $-1 \le u \le 1$.

В нашем случае аргументом функции является выражение $x-5$. Следовательно, для нахождения области определения функции $y = \arcsin(x - 5)$ необходимо решить двойное неравенство:

$-1 \le x - 5 \le 1$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $x$:

$-1 + 5 \le x - 5 + 5 \le 1 + 5$

$4 \le x \le 6$

Таким образом, область определения функции представляет собой отрезок от 4 до 6, включая концы.

Ответ: $D(y) = [4; 6]$.

2) $y = \arccos(x^2 - 3)$

Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(u)$, так же, как и у арксинуса, задается условием $-1 \le u \le 1$.

В данном случае аргументом является $x^2 - 3$. Составим и решим соответствующее двойное неравенство:

$-1 \le x^2 - 3 \le 1$

Это неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3 \ge -1 \\ x^2 - 3 \le 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$x^2 - 3 \ge -1$

$x^2 \ge 2$

Решением этого неравенства являются $x \le -\sqrt{2}$ и $x \ge \sqrt{2}$, то есть $x \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Второе неравенство:

$x^2 - 3 \le 1$

$x^2 \le 4$

Решением этого неравенства является $-2 \le x \le 2$, то есть $x \in [-2; 2]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. На числовой оси это будет пересечение множеств $(-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$ и $[-2; 2]$.

Пересечением являются два отрезка: $[-2; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $D(y) = [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

3) $y = \operatorname{arctg} \sqrt{6 - x}$

Область определения функции арктангенс, $y = \operatorname{arctg}(u)$, — все действительные числа, то есть $u \in (-\infty; +\infty)$.

Однако в данном случае аргумент функции $u = \sqrt{6-x}$ имеет собственное ограничение: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$6 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$6 \ge x$

или

$x \le 6$

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 6.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 6]$.