Номер 361, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 361, страница 247.

361. Решите уравнение:

1) $3\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0;$

2) $3\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0;$

3) $4\sin^2 x + \sin 2x = 3;$

4) $\sin x - 4 \cos x = 1.$

1) Исходное уравнение: $3\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Мы можем переписать его как $3\sin x = \sqrt{3}\cos x$.
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, и $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $3(\pm 1) - \sqrt{3}(0) = 0$, то есть $\pm 3 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.
$\frac{3\sin x}{\cos x} - \frac{\sqrt{3}\cos x}{\cos x} = 0$
$3\tan x - \sqrt{3} = 0$
$3\tan x = \sqrt{3}$
$\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:
$x = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $3\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид $3(1) - 2( \pm 1)(0) - 0 = 0$, то есть $3 = 0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.
$\frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3\tan^2 x - 2\tan x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2+4}{6} = 1$
$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2-4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
Теперь вернемся к исходной переменной:
1. $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $4\sin^2 x + \sin 2x = 3$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и представим правую часть с помощью основного тригонометрического тождества $3 = 3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$4\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$
$4\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$(4\sin^2 x - 3\sin^2 x) + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
$\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
Мы получили однородное уравнение второго порядка. Как и в предыдущих случаях, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Возвращаемся к замене:
1. $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$; $x = -\arctan(3) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\sin x - 4\cos x = 1$.
Это уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Для его решения применим универсальную тригонометрическую подстановку.
Пусть $t = \tan(x/2)$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
Данная подстановка имеет ограничение: $x \neq \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли значения $x = \pi + 2\pi k$ решениями исходного уравнения.
Подставим $x=\pi$: $\sin(\pi) - 4\cos(\pi) = 0 - 4(-1) = 4$. Так как $4 \neq 1$, эти значения не являются корнями.
Теперь можно выполнить подстановку:
$\frac{2t}{1+t^2} - 4\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 1$
Умножим обе части на $1+t^2 \neq 0$:
$2t - 4(1-t^2) = 1+t^2$
$2t - 4 + 4t^2 = 1 + t^2$
$3t^2 + 2t - 5 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$t_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
Возвращаемся к замене:
1. $\tan(x/2) = 1 \implies x/2 = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\tan(x/2) = -\frac{5}{3} \implies x/2 = \arctan\left(-\frac{5}{3}\right) + \pi k \implies x = -2\arctan\left(\frac{5}{3}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = -2\arctan\left(\frac{5}{3}\right) + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.