Номер 363, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 363, страница 247.

363. Решите уравнение:

1) $\cos^2 x + \sin^2 3x = 1;$

2) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \cos^2 3x = 0,5.$

1) Исходное уравнение: $cos^2 x + sin^2 3x = 1$.
Для решения воспользуемся формулами понижения степени: $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$ и $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{1+cos(2x)}{2} + \frac{1-cos(6x)}{2} = 1$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
$1+cos(2x) + 1-cos(6x) = 2$
$2 + cos(2x) - cos(6x) = 2$
$cos(2x) - cos(6x) = 0$
$cos(2x) = cos(6x)$
Теперь применим формулу разности косинусов $cos \alpha - cos \beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$-2sin\frac{2x+6x}{2}sin\frac{2x-6x}{2} = 0$
$-2sin(4x)sin(-2x) = 0$
Используя свойство нечетности синуса $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:
$2sin(4x)sin(2x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:
а) $sin(4x) = 0$
$4x = \pi n$, где $n \in Z$
$x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$
б) $sin(2x) = 0$
$2x = \pi k$, где $k \in Z$
$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$
Заметим, что вторая серия решений ($x = \frac{\pi k}{2}$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi n}{4}$). Действительно, если в первой формуле взять $n=2k$, то мы получим $x = \frac{\pi (2k)}{4} = \frac{\pi k}{2}$. Таким образом, все решения можно описать одной формулой.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $sin^2 x + sin^2 2x - cos^2 3x = 0,5$.
Запишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$ и применим формулы понижения степени: $sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2}$ и $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$.
$\frac{1-cos(2x)}{2} + \frac{1-cos(4x)}{2} - \frac{1+cos(6x)}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим все члены уравнения на 2:
$(1-cos(2x)) + (1-cos(4x)) - (1+cos(6x)) = 1$
Раскроем скобки:
$1 - cos(2x) + 1 - cos(4x) - 1 - cos(6x) = 1$
$1 - cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 1$
$- cos(2x) - cos(4x) - cos(6x) = 0$
$cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) = 0$
Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$(cos(6x) + cos(2x)) + cos(4x) = 0$
$2cos\frac{6x+2x}{2}cos\frac{6x-2x}{2} + cos(4x) = 0$
$2cos(4x)cos(2x) + cos(4x) = 0$
Вынесем общий множитель $cos(4x)$ за скобки:
$cos(4x)(2cos(2x) + 1) = 0$
Это уравнение распадается на два случая:
а) $cos(4x) = 0$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$
б) $2cos(2x) + 1 = 0$
$cos(2x) = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in Z$.