Номер 359, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 359, страница 247.

359. Найдите все корни уравнения $\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $\frac{\pi}{3}<x<\pi$.

Сначала решим данное тригонометрическое уравнение:$ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение примет вид:$ \cos(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Общее решение этого уравнения записывается в виде совокупности:$ t = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Поскольку $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:$ t = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = x + \frac{\pi}{3}$. Это дает две серии корней.

1) Первая серия корней:
$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ x = \frac{5\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

2) Вторая серия корней:
$ x + \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = -\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ x = \frac{-5\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Далее необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют неравенству $\frac{\pi}{3} < x < \pi$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Проверим, попадает ли этот корень в заданный интервал: $\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} < \pi$. Это неравенство верно, так как $\frac{2\pi}{6} < \frac{3\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$. Следовательно, $x = \frac{\pi}{2}$ является решением.
При $n=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$, что больше $\pi$ и не подходит.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$, что меньше $\frac{\pi}{3}$ и не подходит.

Для второй серии корней $x = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n$:
При $n=0$, $x = -\frac{7\pi}{6}$, что меньше $\frac{\pi}{3}$ и не подходит.
При $n=1$, $x = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{-7\pi+12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Проверим, попадает ли этот корень в заданный интервал: $\frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} < \pi$. Это неравенство верно, так как $\frac{2\pi}{6} < \frac{5\pi}{6} < \frac{6\pi}{6}$. Следовательно, $x = \frac{5\pi}{6}$ является решением.
При $n=2$, $x = -\frac{7\pi}{6} + 4\pi = \frac{17\pi}{6}$, что больше $\pi$ и не подходит.

Таким образом, мы нашли два корня, удовлетворяющих заданному условию.

Ответ: $ \frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6} $