Номер 352, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 352, страница 246.
№352 (с. 246)
Учебник. №352 (с. 246)
скриншот условия

352. Упростите выражение:
1) $\left(\frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha}\right) \cdot \frac{\sin 7\alpha - \sin 3\alpha}{\cos 4\alpha - 1};$
2) $\frac{1 - \cos(2\alpha - \pi) + \cos(4\alpha + 2\pi) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} - 6\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) + 1 - 2\sin^2(2\pi - 2\alpha)};$
3) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right).$
Решение 2. №352 (с. 246)
1) Упростим по частям. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos 5\alpha - \cos 3\alpha \sin 5\alpha}{\sin 5\alpha \cos 5\alpha} $
В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:
$ \sin 3\alpha \cos 5\alpha - \cos 3\alpha \sin 5\alpha = \sin(3\alpha - 5\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha $
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \sin 5\alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 5\alpha) = \frac{1}{2} \sin 10\alpha $
Таким образом, выражение в скобках равно:
$ \frac{-\sin 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 10\alpha} = -\frac{2\sin 2\alpha}{\sin 10\alpha} $
Теперь преобразуем вторую дробь. В числителе применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $:
$ \sin 7\alpha - \sin 3\alpha = 2\sin\frac{7\alpha-3\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha+3\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \cos 5\alpha $
В знаменателе используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $, из которой следует $ \cos 4\alpha - 1 = -2\sin^2 2\alpha $:
$ \frac{\sin 7\alpha - \sin 3\alpha}{\cos 4\alpha - 1} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 5\alpha}{-2\sin^2 2\alpha} = -\frac{\cos 5\alpha}{\sin 2\alpha} $
Перемножим полученные выражения:
$ \left(-\frac{2\sin 2\alpha}{\sin 10\alpha}\right) \cdot \left(-\frac{\cos 5\alpha}{\sin 2\alpha}\right) = \frac{2\sin 2\alpha \cos 5\alpha}{\sin 10\alpha \sin 2\alpha} = \frac{2\cos 5\alpha}{\sin 10\alpha} $
Снова применим формулу синуса двойного угла для знаменателя: $ \sin 10\alpha = 2\sin 5\alpha \cos 5\alpha $.
$ \frac{2\cos 5\alpha}{2\sin 5\alpha \cos 5\alpha} = \frac{1}{\sin 5\alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\sin 5\alpha} $
2) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
Преобразуем числитель:
$ \cos(2\alpha - \pi) = \cos(\pi - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) $
$ \cos(4\alpha + 2\pi) = \cos(4\alpha) $
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - 6\alpha) = -\cos(6\alpha) $
Числитель принимает вид: $ 1 - (-\cos(2\alpha)) + \cos(4\alpha) - (-\cos(6\alpha)) = 1 + \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(6\alpha) $.
Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (1 + \cos(4\alpha)) + (\cos(2\alpha) + \cos(6\alpha)) $.
Используем формулу $ 1+\cos 2x = 2\cos^2 x $ и формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:
$ 1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) $
$ \cos(2\alpha) + \cos(6\alpha) = 2\cos\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(4\alpha)\cos(2\alpha) $
Числитель: $ 2\cos^2(2\alpha) + 2\cos(4\alpha)\cos(2\alpha) = 2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)) $.
Преобразуем знаменатель:
$ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $
$ 1 - 2\sin^2(2\pi - 2\alpha) = 1 - 2(-\sin(2\alpha))^2 = 1 - 2\sin^2(2\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha) $
Знаменатель принимает вид: $ \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) $.
Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$ \frac{2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha))}{\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)} = 2\cos(2\alpha) $
Ответ: $ 2\cos(2\alpha) $
3) Для упрощения выражения $ \cos^2(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) $ воспользуемся тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x - \sin^2 y = \cos(x+y)\cos(x-y) $.
В нашем случае:
$ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} $
$ y = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} $
Найдем сумму и разность этих углов:
$ x + y = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{6\pi}{12} + \alpha = \frac{\pi}{2} + \alpha $
$ x - y = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} $
Подставим найденные значения в правую часть тождества:
$ \cos(x+y)\cos(x-y) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $
Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ и значение $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $:
$ (-\sin\alpha) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin\alpha $
Ответ: $ -\frac{1}{2}\sin\alpha $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 352 расположенного на странице 246 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №352 (с. 246), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.