Номер 352, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические функции - номер 352, страница 246.

Учебник.

352. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha}\right) \cdot \frac{\sin 7\alpha - \sin 3\alpha}{\cos 4\alpha - 1};$

2) $\frac{1 - \cos(2\alpha - \pi) + \cos(4\alpha + 2\pi) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} - 6\alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right) + 1 - 2\sin^2(2\pi - 2\alpha)};$

3) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right).$

Решение 2.

1) Упростим по частям. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos 5\alpha - \cos 3\alpha \sin 5\alpha}{\sin 5\alpha \cos 5\alpha} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \sin 3\alpha \cos 5\alpha - \cos 3\alpha \sin 5\alpha = \sin(3\alpha - 5\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha $

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ \sin 5\alpha \cos 5\alpha = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 5\alpha) = \frac{1}{2} \sin 10\alpha $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{-\sin 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 10\alpha} = -\frac{2\sin 2\alpha}{\sin 10\alpha} $

Теперь преобразуем вторую дробь. В числителе применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $:

$ \sin 7\alpha - \sin 3\alpha = 2\sin\frac{7\alpha-3\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha+3\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \cos 5\alpha $

В знаменателе используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $, из которой следует $ \cos 4\alpha - 1 = -2\sin^2 2\alpha $:

$ \frac{\sin 7\alpha - \sin 3\alpha}{\cos 4\alpha - 1} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 5\alpha}{-2\sin^2 2\alpha} = -\frac{\cos 5\alpha}{\sin 2\alpha} $

Перемножим полученные выражения:

$ \left(-\frac{2\sin 2\alpha}{\sin 10\alpha}\right) \cdot \left(-\frac{\cos 5\alpha}{\sin 2\alpha}\right) = \frac{2\sin 2\alpha \cos 5\alpha}{\sin 10\alpha \sin 2\alpha} = \frac{2\cos 5\alpha}{\sin 10\alpha} $

Снова применим формулу синуса двойного угла для знаменателя: $ \sin 10\alpha = 2\sin 5\alpha \cos 5\alpha $.

$ \frac{2\cos 5\alpha}{2\sin 5\alpha \cos 5\alpha} = \frac{1}{\sin 5\alpha} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin 5\alpha} $

2) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

Преобразуем числитель:

$ \cos(2\alpha - \pi) = \cos(\pi - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) $
$ \cos(4\alpha + 2\pi) = \cos(4\alpha) $
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - 6\alpha) = -\cos(6\alpha) $
Числитель принимает вид: $ 1 - (-\cos(2\alpha)) + \cos(4\alpha) - (-\cos(6\alpha)) = 1 + \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(6\alpha) $.

Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (1 + \cos(4\alpha)) + (\cos(2\alpha) + \cos(6\alpha)) $.
Используем формулу $ 1+\cos 2x = 2\cos^2 x $ и формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:
$ 1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) $
$ \cos(2\alpha) + \cos(6\alpha) = 2\cos\frac{2\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(4\alpha)\cos(2\alpha) $
Числитель: $ 2\cos^2(2\alpha) + 2\cos(4\alpha)\cos(2\alpha) = 2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $
$ 1 - 2\sin^2(2\pi - 2\alpha) = 1 - 2(-\sin(2\alpha))^2 = 1 - 2\sin^2(2\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha) $
Знаменатель принимает вид: $ \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) $.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$ \frac{2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha))}{\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)} = 2\cos(2\alpha) $

Ответ: $ 2\cos(2\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ \cos^2(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) $ воспользуемся тригонометрическим тождеством $ \cos^2 x - \sin^2 y = \cos(x+y)\cos(x-y) $.

В нашем случае:

$ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} $
$ y = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} $

Найдем сумму и разность этих углов:

$ x + y = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{6\pi}{12} + \alpha = \frac{\pi}{2} + \alpha $
$ x - y = \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} $

Подставим найденные значения в правую часть тождества:

$ \cos(x+y)\cos(x-y) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ и значение $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $:

$ (-\sin\alpha) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin\alpha $

Ответ: $ -\frac{1}{2}\sin\alpha $