Номер 354, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические функции. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 354, страница 246.

354. Вычислите:

1) $ \operatorname{tg} \left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

2) $ \cos \left(2\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right); $

3) $ \sin \left(2\operatorname{arctg} 1 - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

4) $ \operatorname{tg} \left(\operatorname{arcctg} \left(-\sqrt{3}\right) + \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}}\right). $

1)

Вычислим значение выражения $\operatorname{tg}(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Сначала найдем значение арккосинуса. По определению, $\arccos x$ - это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos\alpha = x$.

В нашем случае, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ - это угол из $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.

Итак, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\operatorname{tg}(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2)

Вычислим значение выражения $\cos(2\arccos(-\frac{1}{2}))$.

Пусть $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2})$. По определению арккосинуса, $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ и $\alpha \in [0; \pi]$.

Нам нужно вычислить $\cos(2\alpha)$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим значение $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ в формулу:

$\cos(2\alpha) = 2\cdot(-\frac{1}{2})^2 - 1 = 2\cdot\frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos(2\arccos(-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3)

Вычислим значение выражения $\sin(2\operatorname{arctg}1 - \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Сначала найдем значения аркфункций в скобках.

По определению, $\operatorname{arctg} x$ - это угол из $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

$\operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

По определению, $\arcsin x$ - это угол из $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sin(2\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение синуса для этого угла является табличным: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4)

Вычислим значение выражения $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}})$.

Сначала найдем значения аркфункций в скобках.

По определению, $\operatorname{arcctg} x$ - это угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $x$.

Ищем угол $\alpha \in (0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg}\alpha = -\sqrt{3}$. Так как значение котангенса отрицательное, угол находится во второй четверти. Опорный угол, для которого котангенс равен $\sqrt{3}$, это $\frac{\pi}{6}$. Тогда искомый угол $\alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Итак, $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

По определению, $\operatorname{arctg} x$ - это угол $\beta$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

$\operatorname{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$, так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\frac{6\pi}{6}) = \operatorname{tg}(\pi)$.

Значение тангенса для этого угла является табличным: $\operatorname{tg}(\pi) = 0$.

Ответ: $0$.