Номер 357, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 357, страница 246.

357. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для решения уравнения $ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ сначала найдем его общее решение. Аргумент синуса, $ x + \frac{\pi}{4} $, должен быть равен углам, синус которых составляет $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение для уравнения $ \sin(y) = a $ записывается в виде совокупности двух серий: $ y = \arcsin(a) + 2\pi n $ и $ y = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n $, где $ n $ — любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

В нашем случае $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $. Таким образом, получаем две серии решений для аргумента $ x + \frac{\pi}{4} $:

1) $ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

2) $ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Теперь выразим $ x $ из каждого уравнения.

Для первой серии решений:$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для второй серии решений:$ x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого будем перебирать целые значения $ n $, чтобы получить отрицательные значения $ x $.

Рассмотрим корни из первой серии $ x = 2\pi n $:
При $ n = 0 $, $ x = 0 $ (не является отрицательным).
При $ n = -1 $, $ x = -2\pi $.
При $ n = -2 $, $ x = -4\pi $ (этот корень меньше, чем $ -2\pi $).
Наибольший отрицательный корень из этой серии — $ -2\pi $.

Рассмотрим корни из второй серии $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $:
При $ n = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} $ (положительный корень).
При $ n = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} $.
При $ n = -2 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = \frac{\pi - 8\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2} $ (этот корень меньше, чем $ -\frac{3\pi}{2} $).
Наибольший отрицательный корень из этой серии — $ -\frac{3\pi}{2} $.

Сравним два найденных наибольших отрицательных корня: $ -2\pi $ и $ -\frac{3\pi}{2} $.
Так как $ 2\pi = \frac{4\pi}{2} $, а $ \frac{4\pi}{2} > \frac{3\pi}{2} $, то $ 2\pi > \frac{3\pi}{2} $.
Для отрицательных чисел неравенство меняет знак: $ -2\pi < -\frac{3\pi}{2} $.
Следовательно, наибольшим отрицательным корнем уравнения является $ -\frac{3\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2} $