Номер 362, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 362, страница 247.
№362 (с. 247)
Учебник. №362 (с. 247)
скриншот условия

362. Решите уравнение:
1) $ \cos 4x + \cos 6x = 0; $
2) $ \sin 8x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right); $
3) $ \cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x; $
4) $ \sin 3x - 2 \sin x = 0. $
Решение 2. №362 (с. 247)
1) $ \cos 4x + \cos 6x = 0 $
Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к нашему уравнению:
$ 2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $
$ 2\cos 5x \cos x = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два независимых уравнения:
а) $ \cos 5x = 0 $
Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:
$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} $, где $ n \in \mathbb{Z} $
б) $ \cos x = 0 $
Это также частный случай. Его решение:
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
Объединяя решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $
2) $ \sin 8x = 2\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right) $
Сначала упростим правую часть уравнения, используя формулу приведения $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha $.
$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right) = -\sin 4x $
Подставим это в исходное уравнение:
$ \sin 8x = 2(-\sin 4x) $
$ \sin 8x = -2\sin 4x $
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Для $ \sin 8x $ это будет $ \sin(2 \cdot 4x) = 2\sin 4x \cos 4x $.
$ 2\sin 4x \cos 4x = -2\sin 4x $
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$ 2\sin 4x \cos 4x + 2\sin 4x = 0 $
$ 2\sin 4x (\cos 4x + 1) = 0 $
Получаем два уравнения:
а) $ \sin 4x = 0 $
$ 4x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $
б) $ \cos 4x + 1 = 0 \implies \cos 4x = -1 $
$ 4x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $
Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $ k=0, x=\frac{\pi}{4} $, что соответствует $ n=1 $ в первой серии. При $ k=1, x=\frac{3\pi}{4} $, что соответствует $ n=3 $ в первой серии. Таким образом, все решения из второй серии содержатся в первой. Поэтому достаточно записать только первую серию решений.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $
3) $ \cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x $
Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к обеим частям уравнения.
Левая часть: $ \cos x + \cos 7x = 2\cos\frac{x+7x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 2\cos 4x \cos 3x $
Правая часть: $ \cos 3x + \cos 5x = 2\cos\frac{3x+5x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\cos 4x \cos x $
Уравнение принимает вид:
$ 2\cos 4x \cos 3x = 2\cos 4x \cos x $
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:
$ 2\cos 4x \cos 3x - 2\cos 4x \cos x = 0 $
$ 2\cos 4x (\cos 3x - \cos x) = 0 $
Получаем два уравнения:
а) $ \cos 4x = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $
б) $ \cos 3x - \cos x = 0 \implies \cos 3x = \cos x $
Решение уравнения вида $ \cos A = \cos B $ записывается как $ A = \pm B + 2\pi k $.
$ 3x = \pm x + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
Рассмотрим два случая:
б.1) $ 3x = x + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
б.2) $ 3x = -x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $
Решения $ x = \pi k $ являются частью решений $ x = \frac{\pi k}{2} $ (при четных значениях $ k $). Поэтому для этой ветви достаточно решения $ x = \frac{\pi k}{2} $.
Объединяем решения из пунктов а) и б).
Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z} $
4) $ \sin 3x - 2\sin x = 0 $
Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $.
Подставим ее в уравнение:
$ (3\sin x - 4\sin^3 x) - 2\sin x = 0 $
$ \sin x - 4\sin^3 x = 0 $
Вынесем $ \sin x $ за скобки:
$ \sin x (1 - 4\sin^2 x) = 0 $
Получаем два уравнения:
а) $ \sin x = 0 $
$ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
б) $ 1 - 4\sin^2 x = 0 $
$ 4\sin^2 x = 1 $
$ \sin^2 x = \frac{1}{4} $
$ \sin x = \pm \frac{1}{2} $
Решим два уравнения:
б.1) $ \sin x = \frac{1}{2} $
$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
б.2) $ \sin x = -\frac{1}{2} $
$ x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
Решения для $ \sin x = \pm \frac{1}{2} $ можно объединить в одну более компактную серию. Это углы $ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} $ и т.д. Все они могут быть описаны формулой $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k $.
Таким образом, объединяем решения из пунктов а) и б).
Ответ: $ x = \pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 362 расположенного на странице 247 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №362 (с. 247), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.