Номер 362, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения курса алгебры. Тригонометрические уравнения и неравенства - номер 362, страница 247.

Учебник.

362. Решите уравнение:

1) $ \cos 4x + \cos 6x = 0; $

2) $ \sin 8x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right); $

3) $ \cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x; $

4) $ \sin 3x - 2 \sin x = 0. $

Решение 2.

1) $ \cos 4x + \cos 6x = 0 $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$ 2\cos\frac{4x+6x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2} = 0 $

$ 2\cos 5x \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два независимых уравнения:

а) $ \cos 5x = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решение:

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos x = 0 $

Это также частный случай. Его решение:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin 8x = 2\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right) $

Сначала упростим правую часть уравнения, используя формулу приведения $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha $.

$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right) = -\sin 4x $

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin 8x = 2(-\sin 4x) $

$ \sin 8x = -2\sin 4x $

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Для $ \sin 8x $ это будет $ \sin(2 \cdot 4x) = 2\sin 4x \cos 4x $.

$ 2\sin 4x \cos 4x = -2\sin 4x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2\sin 4x \cos 4x + 2\sin 4x = 0 $

$ 2\sin 4x (\cos 4x + 1) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \sin 4x = 0 $

$ 4x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos 4x + 1 = 0 \implies \cos 4x = -1 $

$ 4x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $ k=0, x=\frac{\pi}{4} $, что соответствует $ n=1 $ в первой серии. При $ k=1, x=\frac{3\pi}{4} $, что соответствует $ n=3 $ в первой серии. Таким образом, все решения из второй серии содержатся в первой. Поэтому достаточно записать только первую серию решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

3) $ \cos x + \cos 7x = \cos 3x + \cos 5x $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \cos x + \cos 7x = 2\cos\frac{x+7x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 2\cos 4x \cos 3x $

Правая часть: $ \cos 3x + \cos 5x = 2\cos\frac{3x+5x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2} = 2\cos 4x \cos x $

Уравнение принимает вид:

$ 2\cos 4x \cos 3x = 2\cos 4x \cos x $

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$ 2\cos 4x \cos 3x - 2\cos 4x \cos x = 0 $

$ 2\cos 4x (\cos 3x - \cos x) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos 3x - \cos x = 0 \implies \cos 3x = \cos x $

Решение уравнения вида $ \cos A = \cos B $ записывается как $ A = \pm B + 2\pi k $.

$ 3x = \pm x + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Рассмотрим два случая:

б.1) $ 3x = x + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

б.2) $ 3x = -x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Решения $ x = \pi k $ являются частью решений $ x = \frac{\pi k}{2} $ (при четных значениях $ k $). Поэтому для этой ветви достаточно решения $ x = \frac{\pi k}{2} $.

Объединяем решения из пунктов а) и б).

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z} $

4) $ \sin 3x - 2\sin x = 0 $

Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $.

Подставим ее в уравнение:

$ (3\sin x - 4\sin^3 x) - 2\sin x = 0 $

$ \sin x - 4\sin^3 x = 0 $

Вынесем $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (1 - 4\sin^2 x) = 0 $

Получаем два уравнения:

а) $ \sin x = 0 $

$ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ 1 - 4\sin^2 x = 0 $

$ 4\sin^2 x = 1 $

$ \sin^2 x = \frac{1}{4} $

$ \sin x = \pm \frac{1}{2} $

Решим два уравнения:

б.1) $ \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

б.2) $ \sin x = -\frac{1}{2} $

$ x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $

Решения для $ \sin x = \pm \frac{1}{2} $ можно объединить в одну более компактную серию. Это углы $ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} $ и т.д. Все они могут быть описаны формулой $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k $.

Таким образом, объединяем решения из пунктов а) и б).

Ответ: $ x = \pi n, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $