Номер 364, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 364, страница 247.

364. Решите уравнение:

1) $cos x - \sqrt{3} sin x = 1$;

2) $cos x + sin x = \sqrt{2} sin 2x$.

1) Дано уравнение $ \cos x - \sqrt{3} \sin x = 1 $. Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка, которое решается методом введения вспомогательного угла.
Выражение в левой части уравнения можно преобразовать к виду $ R \cos(x + \alpha) $. Для этого разделим и умножим левую часть на число $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $, где $ a=1 $ и $ b=-\sqrt{3} $ — коэффициенты при $ \cos x $ и $ \sin x $ соответственно.
$ R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.
Разделим обе части уравнения на 2:
$ \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \frac{1}{2} $.
Заметим, что $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ являются значениями косинуса и синуса для угла $ \frac{\pi}{3} $. То есть, $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим эти значения в уравнение:
$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin x = \frac{1}{2} $.
Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
Применив эту формулу, получим:
$ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $.
Теперь решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение.
Общее решение уравнения $ \cos y = c $ имеет вид $ y = \pm \arccos(c) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n $.
Так как $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, то:
$ x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.
Это приводит к двум сериям решений:
а) $ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $; $ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение $ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin(2x) $.
Преобразуем левую часть уравнения $ \cos x + \sin x $ с помощью метода вспомогательного угла.
Здесь коэффициенты $ a=1, b=1 $. Вспомогательный множитель $ R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.
Уравнение можно переписать так:
$ \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) = \sqrt{2} \sin(2x) $.
Разделим обе части на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sin(2x) $.
Заметив, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставим эти значения:
$ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos x + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin x = \sin(2x) $.
Левая часть соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Уравнение принимает вид:
$ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin(2x) $.
Чтобы решить это уравнение, приведем обе части к одной тригонометрической функции, например, к косинусу, используя формулу приведения $ \sin \alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.
$ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) $.
Уравнение вида $ \cos A = \cos B $ равносильно совокупности двух уравнений: $ A = B + 2\pi n $ и $ A = -B + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим оба случая:
а) $ x - \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2\pi n $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.
б) $ x - \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2\pi n $
$ x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n $
$ x - 2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ -x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{4} - 2\pi n $.
Так как $ n $ может быть любым целым числом, то $ -n $ также пробегает все целые числа. Поэтому вторую серию решений можно записать как $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Сравним две полученные серии. Вторая серия $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $. Действительно, если в первой серии взять $ n=3k $, где $ k \in \mathbb{Z} $, мы получим $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi (3k)}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $.
Таким образом, все решения уравнения описываются первой серией.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.