Номер 370, страница 247 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Тригонометрические уравнения и неравенства. Упражнения для повторения курса алгебры - номер 370, страница 247.

370. Решите неравенство:

1) $\sin 3x > \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\cos \frac{x}{2} \le \frac{1}{2};$

3) $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) \ge -\frac{1}{2};$

5) $\operatorname{tg} \left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{3};$

6) $\operatorname{ctg} \left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5}\right) \ge -1.$

1) Исходное неравенство: $ \sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Сделаем замену $ t = 3x $, получим неравенство $ \sin{t} > \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства на единичной окружности является дуга, для которой ордината (значение синуса) больше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это соответствует углам в интервале $ (\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) $.
С учетом периодичности функции синуса, общее решение для $ t $ будет:$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = 3x $:$ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $.
Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $ x $:$ \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} $.
Упростим правую часть: $ \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $.
Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}), n \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное неравенство: $ \cos(\frac{x}{2}) \le \frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} $, получим $ \cos{t} \le \frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой абсцисса (значение косинуса) меньше или равна $ \frac{1}{2} $. Это соответствует углам в промежутке $ [\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}] $.
С учетом периодичности, общее решение для $ t $:$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $.
Умножим все части неравенства на 2:$ \frac{2\pi}{3} + 4\pi n \le x \le \frac{10\pi}{3} + 4\pi n $.
Ответ: $ x \in [\frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \frac{10\pi}{3} + 4\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное неравенство: $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сделаем замену $ t = x + \frac{\pi}{4} $, получим $ \sin{t} \le \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой ордината меньше или равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует углам в промежутке, который можно записать как $ [-\frac{4\pi}{3}; \frac{\pi}{3}] $ на одном из оборотов.
С учетом периодичности, общее решение для $ t $:$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ -\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{4} $ из всех частей:$ -\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:$ -\frac{16\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2\pi n $.
Получаем: $ -\frac{19\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{12} + 2\pi n $.
Ответ: $ x \in [-\frac{19\pi}{12} + 2\pi n; \frac{\pi}{12} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное неравенство: $ \cos(2x - \frac{\pi}{6}) \ge -\frac{1}{2} $.
Сделаем замену $ t = 2x - \frac{\pi}{6} $, получим $ \cos{t} \ge -\frac{1}{2} $.
Решением этого неравенства на единичной окружности является дуга, для которой абсцисса больше или равна $ -\frac{1}{2} $. Это соответствует углам в промежутке $ [-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}] $.
С учетом периодичности, общее решение для $ t $:$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $.
Прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям:$ -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.
Упростим: $ -\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.
То есть $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $.
Разделим все части на 2: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{5\pi}{12} + \pi n $.
Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n], n \in \mathbb{Z} $.

5) Исходное неравенство: $ \text{tg}(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{4} + \frac{\pi}{3} $, получим $ \text{tg}(t) \le \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Функция тангенса определена при $ t \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $ и возрастает на каждом интервале определения. Уравнение $ \text{tg}(t) = \frac{\sqrt{3}}{3} $ имеет решение $ t = \frac{\pi}{6} $. Неравенство выполняется на интервалах, начинающихся от вертикальной асимптоты и доходящих до этого значения.
С учетом периодичности, решение для $ t $:$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ -\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{4} + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + \pi n $.
Вычтем $ \frac{\pi}{3} $ из всех частей:$ -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{4} \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n $.
Упростим: $ -\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{4} \le -\frac{\pi}{6} + \pi n $.
Умножим все части на 4: $ -\frac{20\pi}{6} + 4\pi n < x \le -\frac{4\pi}{6} + 4\pi n $.
Сократим дроби: $ -\frac{10\pi}{3} + 4\pi n < x \le -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n $.
Ответ: $ x \in (-\frac{10\pi}{3} + 4\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

6) Исходное неравенство: $ \text{ctg}(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5}) \ge -1 $.
Сделаем замену $ t = \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5} $, получим $ \text{ctg}(t) \ge -1 $.
Функция котангенса определена при $ t \ne \pi k $ и убывает на каждом интервале определения. Уравнение $ \text{ctg}(t) = -1 $ имеет решение $ t = \frac{3\pi}{4} $. Неравенство выполняется на интервалах, начинающихся от вертикальной асимптоты и доходящих до этого значения.
С учетом периодичности, решение для $ t $:$ \pi n < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Выполним обратную замену:$ \pi n < \frac{2x}{3} - \frac{\pi}{5} \le \frac{3\pi}{4} + \pi n $.
Прибавим $ \frac{\pi}{5} $ ко всем частям:$ \frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + \pi n $.
Упростим правую часть: $ \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} = \frac{15\pi+4\pi}{20} = \frac{19\pi}{20} $.
Получаем: $ \frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{3} \le \frac{19\pi}{20} + \pi n $.
Умножим все части на $ \frac{3}{2} $: $ \frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{2} < x \le \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2} $.
Ответ: $ x \in (\frac{3\pi}{10} + \frac{3\pi n}{2}; \frac{57\pi}{40} + \frac{3\pi n}{2}], n \in \mathbb{Z} $.